自然数の列 $\{a_n\}$ を、第 $k$ 群が $2k$ 個の項を含むように分ける。 (1) 第 $n$ 群の初項を求めよ。 (2) 第 $n$ 群に含まれる項の和を求めよ。 (3) 100 は第何群の何番目の項か。

1. 問題の内容

自然数の列 $\{a_n\}$ を、第 $k$ 群が $2k$ 個の項を含むように分ける。

(1) 第 $n$ 群の初項を求めよ。

(2) 第 $n$ 群に含まれる項の和を求めよ。

(3) 100 は第何群の何番目の項か。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の初項を求める。

第 $n-1$ 群までの項数は $\sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2 \sum_{k=1}^{n-1} k = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1)$ となる。

したがって、第 $n$ 群の初項は $n(n-1)+1 = n^2 - n + 1$ となる。

(2) 第 $n$ 群に含まれる項の和を求める。

第 $n$ 群の項数は $2n$ である。

第 $n$ 群の初項は $n^2 - n + 1$ であり、末項は $n^2 - n + 1 + 2n - 1 = n^2 + n$ となる。

したがって、第 $n$ 群に含まれる項の和は

$\frac{2n}{2} (n^2 - n + 1 + n^2 + n) = n(2n^2 + 1) = 2n^3 + n$ となる。

(3) 100 が第何群の何番目の項かを求める。

第 $n-1$ 群までの項数の合計は $n(n-1)$ である。

$n(n-1) < 100$ となる最大の $n$ を求める。

$n(n-1) = n^2 - n$ であり、$n$ が大きければ $n^2$ と近似できる。

$n^2 < 100$ より $n < 10$ である。

$n = 10$ のとき $n(n-1) = 10 \cdot 9 = 90$

$n = 11$ のとき $n(n-1) = 11 \cdot 10 = 110$

したがって、100 は第 10 群に含まれる。

第 10 群の初項は $10^2 - 10 + 1 = 100 - 10 + 1 = 91$ である。

100 は第 10 群の $100 - 91 + 1 = 10$ 番目の項である。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の初項: $n^2 - n + 1$

(2) 第 $n$ 群に含まれる項の和: $2n^3 + n$

(3) 100 は第 10 群の 10 番目の項