$\sqrt{3}$ が無理数であることを背理法を用いて証明する問題です。ただし、整数 $n$ について、$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ は 3 の倍数であるという事実を用いて良いとします。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}$ が無理数であることを背理法を用いて証明する問題です。ただし、整数 $n$ について、$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ は 3 の倍数であるという事実を用いて良いとします。

2. 解き方の手順

背理法を用いるため、まず $\sqrt{3}$ が有理数であると仮定します。

有理数であると仮定すると、互いに素な整数 $m, n$ を用いて、

$\sqrt{3} = \frac{m}{n}$ と表すことができます。

両辺を2乗すると、

$3 = \frac{m^2}{n^2}$

となります。

これを変形すると、

$m^2 = 3n^2$

となります。

この式から、$m^2$ は 3 の倍数であることがわかります。

問題文で与えられた条件より、$m^2$ が 3 の倍数ならば、$m$ も 3 の倍数であるため、$m$ は 3 の倍数です。

したがって、$m = 3k$ （$k$ は整数）とおくことができます。

これを $m^2 = 3n^2$ に代入すると、

$(3k)^2 = 3n^2$

$9k^2 = 3n^2$

$3k^2 = n^2$

となります。

この式から、$n^2$ は 3 の倍数であることがわかります。

同様に、$n^2$ が 3 の倍数ならば、$n$ も 3 の倍数であるため、$n$ は 3 の倍数です。

ここで、$m$ と $n$ は互いに素であるという仮定に矛盾します。なぜなら、$m$ も $n$ も 3 の倍数であることが示されたからです。

したがって、$\sqrt{3}$ が有理数であるという仮定が誤りであったため、$\sqrt{3}$ は無理数です。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$ は無理数である。