全体集合 $U = \{x | x \in \mathbb{N}, 1 \leq x \leq 20 \}$ の部分集合 $A, B, C$ が以下のように定義される。 - $A = \{x | x \in U, x \text{ は } a \text{ の倍数} \}$。ここで $2 \leq a \leq 10$ - $B = \{x | x \in U, x \leq b \text{ または } c \leq x \}$。ここで $1 \leq b < c \leq 20$ - $C = \{x | x \in U, x \text{ は素数} \}$ $A \cap \overline{B} \cap C \neq \emptyset$ を満たす $a, b, c$ の値の組 $(a, b, c)$ のうち、$c - b$ の値が最小となるような組 $(a, b, c)$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | x \in \mathbb{N}, 1 \leq x \leq 20 \}$ の部分集合 $A, B, C$ が以下のように定義される。

- $A = \{x | x \in U, x \text{ は } a \text{ の倍数} \}$。ここで $2 \leq a \leq 10$

- $B = \{x | x \in U, x \leq b \text{ または } c \leq x \}$。ここで $1 \leq b < c \leq 20$

- $C = \{x | x \in U, x \text{ は素数} \}$

$A \cap \overline{B} \cap C \neq \emptyset$ を満たす $a, b, c$ の値の組 $(a, b, c)$ のうち、$c - b$ の値が最小となるような組 $(a, b, c)$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$C$ を具体的に書き出す。

$C = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 \}$

$A \cap \overline{B} \cap C \neq \emptyset$ より、$A \cap \overline{B}$ の中に $C$ の要素が少なくとも一つ含まれている必要がある。

ここで、$\overline{B}$ は $b < x < c$ を満たす $x$ の集合である。

すなわち、$A \cap (b < x < c) \cap C \neq \emptyset$ を満たす $a, b, c$ を探す。

$c - b$ が最小となるような $(a, b, c)$ を探す。$c - b = 1$ となるケースをまず考える。

$c = b + 1$ となる場合を考えればよい。

$\overline{B} = \{ b+1 \}$ となるので、$A \cap \{b+1 \} \cap C \neq \emptyset$ となる必要がある。

つまり、$b+1$ は $a$ の倍数であり、かつ $b+1$ は素数である必要がある。

このとき、$a$ は $b+1$ の約数である。$b+1$ は素数なので、$a=1$ または $a=b+1$ となる。

$2 \le a \le 10$ より $a = b+1$ の場合のみを考えればよい。

すなわち、 $a = b+1$ が素数である必要がある。そして $a \le 10$ でなければならない。

さらに、 $b+1 = a$ は素数である必要がある。

このとき、$A \cap \overline{B} \cap C = \{b+1 \} \neq \emptyset$ が成り立つ。

$b = 2, c = 3$ のとき、$a = 3$。$A \cap \overline{B} \cap C = \{ 3 \}$

$b = 4, c = 5$ のとき、$a = 5$。$A \cap \overline{B} \cap C = \{ 5 \}$

$b = 6, c = 7$ のとき、$a = 7$。$A \cap \overline{B} \cap C = \{ 7 \}$

これらのケースでは、$c - b = 1$ が最小である。

次に、$c-b=2$の場合を考える。$\overline{B} = \{ b+1, b+2\}$ となる。

$A \cap \{b+1, b+2\} \cap C \neq \emptyset$

$A \cap \{b+1, b+2\} \cap C$の中に素数が含まれるように、$a, b$ を定める。

$b=1, c=3$のとき、$\overline{B}=\{2,3\}$.

$a=2$のとき、$A=\{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20\}$だから、$A\cap\overline{B}\cap C =\{2,3\}$。

$a=3$のとき、$A=\{3,6,9,12,15,18\}$だから、$A\cap\overline{B}\cap C =\{3\}$。

3. 最終的な答え

$(a, b, c) = (3, 2, 3)$, $(5, 4, 5)$, $(7, 6, 7)$, $(2,1,3)$, $(3,1,3)$