整数 $a, b$ に関して、以下の3つの命題を証明する。 (1) $a$ と $b$ がともに8の倍数ならば、$a+2b$ は8の倍数である。 (2) $a$ と $a-b$ がともに7の倍数ならば、$b$ は7の倍数である。 (3) $a$ と $b$ がともに5の倍数ならば、$a^2+3ab+b^2$ は25の倍数である。

1. 問題の内容

整数 $a, b$ に関して、以下の3つの命題を証明する。

(1) $a$ と $b$ がともに8の倍数ならば、$a+2b$ は8の倍数である。

(2) $a$ と $a-b$ がともに7の倍数ならば、$b$ は7の倍数である。

(3) $a$ と $b$ がともに5の倍数ならば、$a^2+3ab+b^2$ は25の倍数である。

2. 解き方の手順

(1) $a, b$ がともに8の倍数なので、整数 $k, l$ を用いて $a = 8k$, $b = 8l$ と表せる。

このとき、

$a + 2b = 8k + 2(8l) = 8k + 16l = 8(k + 2l)$

$k+2l$ は整数であるから、$a+2b$ は8の倍数である。

(2) $a, a-b$ がともに7の倍数なので、整数 $m, n$ を用いて $a = 7m$, $a-b = 7n$ と表せる。

このとき、

$b = a - (a-b) = 7m - 7n = 7(m-n)$

$m-n$ は整数であるから、$b$ は7の倍数である。

(3) $a, b$ がともに5の倍数なので、整数 $p, q$ を用いて $a = 5p$, $b = 5q$ と表せる。

このとき、

$a^2 + 3ab + b^2 = (5p)^2 + 3(5p)(5q) + (5q)^2 = 25p^2 + 75pq + 25q^2 = 25(p^2 + 3pq + q^2)$

$p^2 + 3pq + q^2$ は整数であるから、$a^2+3ab+b^2$ は25の倍数である。

3. 最終的な答え

(1) 証明完了

(2) 証明完了

(3) 証明完了