整数 $a$ を7で割ると2余り、整数 $b$ を7で割ると5余るとき、以下の値を7で割ったときの余りを求めます。 (1) $3a+b$ (2) $ab$ (3) $a^2+b^2$

1. 問題の内容

整数 $a$ を7で割ると2余り、整数 $b$ を7で割ると5余るとき、以下の値を7で割ったときの余りを求めます。

(1) $3a+b$

(2) $ab$

(3) $a^2+b^2$

2. 解き方の手順

(1) $3a+b$ の場合：

$a$ を7で割った余りが2なので、$a \equiv 2 \pmod{7}$

$b$ を7で割った余りが5なので、$b \equiv 5 \pmod{7}$

したがって、

$3a+b \equiv 3(2) + 5 \pmod{7}$

$3a+b \equiv 6 + 5 \pmod{7}$

$3a+b \equiv 11 \pmod{7}$

$11$ を7で割ると4余るので、

$3a+b \equiv 4 \pmod{7}$

(2) $ab$ の場合：

$a \equiv 2 \pmod{7}$

$b \equiv 5 \pmod{7}$

したがって、

$ab \equiv 2 \cdot 5 \pmod{7}$

$ab \equiv 10 \pmod{7}$

$10$ を7で割ると3余るので、

$ab \equiv 3 \pmod{7}$

(3) $a^2 + b^2$ の場合：

$a \equiv 2 \pmod{7}$

$b \equiv 5 \pmod{7}$

したがって、

$a^2 + b^2 \equiv 2^2 + 5^2 \pmod{7}$

$a^2 + b^2 \equiv 4 + 25 \pmod{7}$

$a^2 + b^2 \equiv 29 \pmod{7}$

$29$ を7で割ると1余るので、

$a^2 + b^2 \equiv 1 \pmod{7}$

3. 最終的な答え

(1) $3a+b$ を7で割った余り: 4

(2) $ab$ を7で割った余り: 3

(3) $a^2+b^2$ を7で割った余り: 1