135以下の自然数の中で、135と互いに素である自然数の個数を求める。

1. 問題の内容

135以下の自然数の中で、135と互いに素である自然数の個数を求める。

2. 解き方の手順

135と互いに素である自然数を求めるためには、まず135を素因数分解します。

$135 = 3^3 \times 5$

したがって、135と互いに素な数は、3の倍数でも5の倍数でもない数です。

135以下の自然数全体の集合をUとします。

3の倍数の集合をA、5の倍数の集合をBとします。

求める個数は、$n(U) - n(A \cup B)$です。

$n(U) = 135$

$n(A) = \lfloor \frac{135}{3} \rfloor = 45$

$n(B) = \lfloor \frac{135}{5} \rfloor = 27$

$n(A \cap B) = \lfloor \frac{135}{15} \rfloor = 9$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 45 + 27 - 9 = 63$

したがって、求める個数は

$135 - 63 = 72$

3. 最終的な答え

72