整数 $n$ に対して、$n^3 + 5n$ が 6 の倍数であることを証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ に対して、$n^3 + 5n$ が 6 の倍数であることを証明する。

2. 解き方の手順

$n^3 + 5n$ を因数分解し、連続する整数の積の形に変形することで、6の倍数であることを示す。

まず、$n^3 + 5n$ を因数分解する。

$n^3 + 5n = n(n^2 + 5)$

次に、$n^2+5$ を $n^2-1+6 = (n-1)(n+1)+6$ と変形する。

$n^3 + 5n = n(n^2 - 1 + 6) = n(n^2 - 1) + 6n = n(n - 1)(n + 1) + 6n = (n - 1)n(n + 1) + 6n$

ここで、$(n - 1)n(n + 1)$ は連続する3つの整数の積であるため、少なくとも2の倍数と3の倍数を含む。

したがって、$(n - 1)n(n + 1)$ は $2 \times 3 = 6$ の倍数である。

$6n$ は明らかに6の倍数である。

したがって、$(n - 1)n(n + 1) + 6n$ は6の倍数である。

3. 最終的な答え

$n$ は整数とする。$n^3+5n$は6の倍数である。