関数 $f(x) = xe^{-2x}$ について、以下の問いに答えます。 (1) 関数 $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べてください。 (2) $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を書いてください。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^{-2x}$ について、以下の問いに答えます。

(1) 関数 $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べてください。

(2) $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ を求め、グラフの概形を書いてください。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = e^{-2x} + x(-2)e^{-2x} = e^{-2x}(1-2x)$

次に、$f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = -2e^{-2x}(1-2x) + e^{-2x}(-2) = e^{-2x}(-2+4x-2) = e^{-2x}(4x-4) = 4e^{-2x}(x-1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$e^{-2x}(1-2x) = 0$

$1-2x=0$

$x=\frac{1}{2}$

$f''(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$4e^{-2x}(x-1) = 0$

$x-1=0$

$x=1$

増減表を書きます。

| x | ... | 1/2 | ... | 1 | ... |

| :---- | :------- | :------ | :------ | :----- | :------ |

| f'(x) | + | 0 | - | - | - |

| f''(x)| - | - | - | 0 | + |

| f(x) | 増加,上に凸 | 極大値 | 減少,上に凸 | 変曲点 | 減少,下に凸 |

$x=\frac{1}{2}$ のとき $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}e^{-2(\frac{1}{2})} = \frac{1}{2e}$。よって極大値$\frac{1}{2e}$。

$x=1$ のとき $f(1) = 1\cdot e^{-2(1)} = e^{-2} = \frac{1}{e^2}$。よって変曲点は $(1, \frac{1}{e^2})$。

(2)

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} xe^{-2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2x}}$

ロピタルの定理より、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{2x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2e^{2x}} = 0$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} xe^{-2x} = -\infty$ (∵ $x \to -\infty$ で $x$ は負の無限大に、 $e^{-2x}$ は正の無限大に発散する)

グラフの概形：

$x$ が大きいとき $f(x)$ は $0$ に近づき、$x$ が負の無限大に近づくとき $f(x)$ も負の無限大に近づきます。$x = 1/2$ で極大値 $1/(2e)$ をとり、$x = 1$ で変曲点 $(1, 1/e^2)$ を持つ。

3. 最終的な答え

(1) 増減：$x < \frac{1}{2}$ で増加、$x > \frac{1}{2}$ で減少。

極値：$x = \frac{1}{2}$ で極大値 $\frac{1}{2e}$。

凹凸：$x < 1$ で上に凸、$x > 1$ で下に凸。

変曲点：$(1, \frac{1}{e^2})$

(2) $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.

グラフの概形：上記の説明を参照。