問題4は、広義積分 $\int_1^\infty \frac{1}{x^\alpha} dx$ が収束するための $\alpha$ の条件を求める問題です。

1. 問題の内容

問題4は、広義積分 $\int_1^\infty \frac{1}{x^\alpha} dx$ が収束するための $\alpha$ の条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分 $\int_1^\beta \frac{1}{x^\alpha} dx$ を計算します。

$\alpha \neq 1$ のとき、

$\int_1^\beta \frac{1}{x^\alpha} dx = \int_1^\beta x^{-\alpha} dx = \left[ \frac{x^{-\alpha+1}}{-\alpha+1} \right]_1^\beta = \frac{\beta^{1-\alpha}}{1-\alpha} - \frac{1}{1-\alpha}$

$\alpha = 1$ のとき、

$\int_1^\beta \frac{1}{x} dx = [\ln x]_1^\beta = \ln \beta - \ln 1 = \ln \beta$

次に、$\beta \to \infty$ の極限を考えます。

$\alpha \neq 1$ のとき、

$\lim_{\beta \to \infty} \left( \frac{\beta^{1-\alpha}}{1-\alpha} - \frac{1}{1-\alpha} \right)$

この極限が存在するためには、$1-\alpha < 0$、すなわち $\alpha > 1$ が必要です。このとき、

$\lim_{\beta \to \infty} \left( \frac{\beta^{1-\alpha}}{1-\alpha} - \frac{1}{1-\alpha} \right) = - \frac{1}{1-\alpha} = \frac{1}{\alpha-1}$

$\alpha = 1$ のとき、

$\lim_{\beta \to \infty} \ln \beta = \infty$

したがって、$\alpha = 1$ のときは広義積分は発散します。

3. 最終的な答え

広義積分 $\int_1^\infty \frac{1}{x^\alpha} dx$ が収束するための $\alpha$ の条件は、$\alpha > 1$ です。