与えられた関数 $y = x^{x^x}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。ただし、$x^x$ の導関数として、$y = x^x$ ならば $y' = x^x(\log x + 1)$ を用いてよいとされています。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = x^{x^x}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。ただし、$x^x$ の導関数として、$y = x^x$ ならば $y' = x^x(\log x + 1)$ を用いてよいとされています。

2. 解き方の手順

1. 対数微分法を用いるために、両辺の自然対数を取ります。

$\log y = \log (x^{x^x}) = x^x \log x$

2. 両辺を $x$ で微分します。左辺は $y$ の関数として微分してから $y'$ をかけます。右辺は積の微分法を用います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^x \log x)$

$\frac{1}{y} y' = (x^x)' \log x + x^x (\log x)'$

3. 問題文に与えられた $x^x$ の導関数 $x^x(\log x + 1)$ を用います。また、$(\log x)' = \frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{y} y' = x^x (\log x + 1) \log x + x^x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} y' = x^x (\log x + 1) \log x + x^{x-1}$

4. $y'$ について解きます。

$y' = y \left[ x^x (\log x + 1) \log x + x^{x-1} \right]$

$y' = x^{x^x} \left[ x^x (\log x + 1) \log x + x^{x-1} \right]$

5. $x^{x-1} = x^x / x$ であるから、

$y' = x^{x^x} \left[ x^x (\log x + 1) \log x + \frac{x^x}{x} \right]$

$y' = x^{x^x} x^x \left[ (\log x + 1) \log x + \frac{1}{x} \right]$

3. 最終的な答え

$y' = x^{x^x} \left[ x^x (\log x + 1) \log x + x^{x-1} \right]$

あるいは、

$y' = x^{x^x} x^x \left[ (\log x + 1) \log x + \frac{1}{x} \right]$