関数 $z = (x^2 + y^2 - 1) \log(x^2 + y^2)$ の $0 < x^2 + y^2 \leq 2$ の範囲におけるグラフの概形を描き、$\frac{\partial z}{\partial x}$ および $\frac{\partial z}{\partial y}$ を計算する。

1. 問題の内容

関数 $z = (x^2 + y^2 - 1) \log(x^2 + y^2)$ の $0 < x^2 + y^2 \leq 2$ の範囲におけるグラフの概形を描き、$\frac{\partial z}{\partial x}$ および $\frac{\partial z}{\partial y}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 偏導関数の計算

$z = (x^2 + y^2 - 1) \log(x^2 + y^2)$ を $x$ で偏微分する。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} ((x^2 + y^2 - 1) \log(x^2 + y^2))$

積の微分公式を用いる。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2 - 1) \cdot \log(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 1) \cdot \frac{\partial}{\partial x} \log(x^2 + y^2)$

$\frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2 - 1) = 2x$

$\frac{\partial}{\partial x} \log(x^2 + y^2) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + y^2}$

したがって、

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \log(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 1) \cdot \frac{2x}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \log(x^2 + y^2) + 2x - \frac{2x}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \left( \log(x^2 + y^2) + 1 - \frac{1}{x^2 + y^2} \right)$

同様に、$z$ を $y$ で偏微分する。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} ((x^2 + y^2 - 1) \log(x^2 + y^2))$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2 - 1) \cdot \log(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 1) \cdot \frac{\partial}{\partial y} \log(x^2 + y^2)$

$\frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2 - 1) = 2y$

$\frac{\partial}{\partial y} \log(x^2 + y^2) = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2y = \frac{2y}{x^2 + y^2}$

したがって、

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y \log(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 1) \cdot \frac{2y}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y \log(x^2 + y^2) + 2y - \frac{2y}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y \left( \log(x^2 + y^2) + 1 - \frac{1}{x^2 + y^2} \right)$

(2) グラフの概形

$r^2 = x^2 + y^2$ と置くと、$z = (r^2 - 1) \log(r^2)$.

$0 < r^2 \leq 2$, すなわち $0 < r \leq \sqrt{2}$.

$r = 1$ のとき、$z = 0$.

$r \to 0$ のとき、$z \to \infty$ $(r^2 - 1) (-\infty) = (-\infty)$.

$r = \sqrt{2}$ のとき、$z = (2 - 1) \log(2) = \log(2) \approx 0.693$.

グラフは原点に近づくほど$-\infty$に発散し、$r=1$で0を通り、 $r = \sqrt{2}$で$z=\log(2)$となるような、円筒座標系で表される曲面。

すなわち、$x^2 + y^2 = 1$ のとき $z = 0$ であり、$x^2 + y^2$ が 1 より小さいと $z$ は負の値を取り、$x^2 + y^2$ が 1 より大きいと $z$ は正の値を取る。

3. 最終的な答え

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \left( \log(x^2 + y^2) + 1 - \frac{1}{x^2 + y^2} \right)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2y \left( \log(x^2 + y^2) + 1 - \frac{1}{x^2 + y^2} \right)$

グラフの概形：

$x^2 + y^2 = 1$ のとき $z = 0$ であり、$x^2 + y^2$ が 1 より小さいと $z$ は負の値を取り、$x^2 + y^2$ が 1 より大きいと $z$ は正の値を取るような、$0 < x^2 + y^2 \leq 2$ の範囲の曲面。