問題は、極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2+x+1} - \sqrt{x^2}}{(\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x})x^{2/3}}$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2+x+1} - \sqrt{x^2}}{(\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x})x^{2/3}}$ を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、分子を有理化します。

$\sqrt{x^2+x+1} - \sqrt{x^2} = \frac{(\sqrt{x^2+x+1} - \sqrt{x^2})(\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2})}{\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2}} = \frac{x^2+x+1 - x^2}{\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2}} = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2}}$

次に、分母を有理化します。$\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x}$ に対して、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ という公式を利用します。

$\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x} = \frac{(\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x})((\sqrt[3]{x+1})^2 + \sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2)}{(\sqrt[3]{x+1})^2 + \sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2} = \frac{(x+1)-x}{(\sqrt[3]{x+1})^2 + \sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2} = \frac{1}{(\sqrt[3]{x+1})^2 + \sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2}$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2+x+1} - \sqrt{x^2}}{(\sqrt[3]{x+1} - \sqrt[3]{x})x^{2/3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x+1}{\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2}}}{\frac{x^{2/3}}{(\sqrt[3]{x+1})^2 + \sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x+1)((\sqrt[3]{x+1})^2 + \sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2)}{(\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2})x^{2/3}}$

各項を $x$ の最高次数で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{(x+1)((\sqrt[3]{x+1})^2 + \sqrt[3]{x+1}\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2)}{(\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2})x^{2/3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(1+\frac{1}{x})x^{2/3}((\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}})^2 + \sqrt[3]{1+\frac{1}{x}} + 1)}{x( \sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} + 1)x^{2/3}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(1+\frac{1}{x})((\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}})^2 + \sqrt[3]{1+\frac{1}{x}} + 1)}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} + 1} = \frac{(1+0)(1+1+1)}{\sqrt{1+0+0}+1} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$