関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (x^2 + 1)5^{x^3}$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式を用いる。

$y = uv$ のとき、$y' = u'v + uv'$

$u = x^2 + 1$ とおくと、$u' = 2x$

$v = 5^{x^3}$ とおくと、$v' = 5^{x^3} \cdot \log{5} \cdot 3x^2 = 3x^2 \log{5} \cdot 5^{x^3}$

したがって、

$y' = 2x \cdot 5^{x^3} + (x^2 + 1) \cdot 3x^2 \log{5} \cdot 5^{x^3}$

$y' = 5^{x^3}(2x + 3x^2(x^2 + 1)\log{5})$

$y' = 5^{x^3}(2x + 3x^4\log{5} + 3x^2\log{5})$

選択肢を比較すると、選択肢2が近い形をしている。

$y' = 5^{x^3}(2x + (x^2 + 1)\log{5})$を展開すると、$y' = 5^{x^3}(2x + x^2\log{5} + \log{5})$ となるため異なる。

選択肢3を展開すると、$y' = 5^{x^3}(2x + \frac{x^2}{\log{5}} + \frac{1}{\log{5}})$ となるため異なる。

計算をもう一度行う。

$y' = 2x \cdot 5^{x^3} + (x^2+1)3x^2 \log{5} \cdot 5^{x^3} = 5^{x^3}[2x + 3x^2(x^2+1)\log{5}]$

よって$y' = 5^{x^3}(2x + 3x^2(x^2+1)\log{5})$

3. 最終的な答え

選択肢2: $y' = 5^{x^3}\{2x + (x^2 + 1)3x^2 \log 5\}$

この選択肢は、$y'= 5^{x^3}(2x + 3x^4 log 5 + 3x^2 log 5)$であり、$2x \cdot 5^{x^3} + (x^2+1)3x^2 log{5} \cdot 5^{x^3}$と等しいです。

2が正しい。