放物線 $y = x^2 - x$ と直線 $y = mx$ で囲まれた図形の面積 $S$ が、$x$ 軸で2等分されるとき、定数 $m$ の値を求める問題です。ただし、$m > 0$ とします。

## 問題３

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - x$ と直線 $y = mx$ で囲まれた図形の面積 $S$ が、$x$ 軸で2等分されるとき、定数 $m$ の値を求める問題です。ただし、$m > 0$ とします。

2. 解き方の手順

まず、放物線と直線の交点を求めます。

$x^2 - x = mx$

$x^2 - (m+1)x = 0$

$x(x - (m+1)) = 0$

よって、$x = 0$ または $x = m+1$。

したがって、交点の $x$ 座標は $0$ と $m+1$ です。

次に、囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。

$S = \int_0^{m+1} (mx - (x^2 - x)) dx = \int_0^{m+1} ((m+1)x - x^2) dx$

$S = \left[ \frac{(m+1)x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^{m+1} = \frac{(m+1)^3}{2} - \frac{(m+1)^3}{3} = \frac{(m+1)^3}{6}$

次に、$x$ 軸で面積が2等分されるという条件から、$x$ 軸より下の部分の面積を計算します。放物線 $y = x^2 - x$ と $x$ 軸($y=0$) の交点は、$x^2-x=0$ より、$x(x-1)=0$なので、$x=0$と$x=1$。

$x$ 軸より下の部分の面積は、$\int_0^1 (0-(x^2-x))dx=\int_0^1 (-x^2+x)dx = \left[-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$。

$S$ を $x$ 軸で2等分するということは、$S$ の半分が $x$軸の下にあり、$x$ 軸より下の面積は $\frac{1}{6}$ でしたので、

$\frac{S}{2} = \frac{1}{6}$

$S = \frac{1}{3}$

面積 $S$ の式 $\frac{(m+1)^3}{6}$ に $S = \frac{1}{3}$ を代入します。

$\frac{(m+1)^3}{6} = \frac{1}{3}$

$(m+1)^3 = 2$

$m+1 = \sqrt[3]{2}$

$m = \sqrt[3]{2} - 1$

3. 最終的な答え

$m = \sqrt[3]{2} - 1$