与えられた級数 $S$ の和を求める問題です。 $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \cdots + \frac{n}{3^{n-1}}$

1. 問題の内容

与えられた級数 $S$ の和を求める問題です。

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \cdots + \frac{n}{3^{n-1}}$

2. 解き方の手順

まず、$S$ を書き下します。

$S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \cdots + \frac{n}{3^{n-1}}$

次に、両辺に $\frac{1}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \frac{4}{3^4} + \cdots + \frac{n}{3^n}$

上の式から下の式を引きます。

$S - \frac{1}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}$

左辺を整理します。

$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}$

右辺の $1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots + \frac{1}{3^{n-1}}$ は、初項 1、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列の和です。

この等比数列の和は、

$\frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} (1 - (\frac{1}{3})^n)$

したがって、

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} (1 - (\frac{1}{3})^n) - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3^n} - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} - \frac{3 + 2n}{2 \cdot 3^n}$

両辺に $\frac{3}{2}$ を掛けます。

$S = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 + 2n}{2 \cdot 3^n}$

$S = \frac{9}{4} - \frac{9 + 6n}{4 \cdot 3^n}$

$S = \frac{9}{4} - \frac{3(3 + 2n)}{4 \cdot 3^n}$

$S = \frac{9 \cdot 3^n - 9 - 6n}{4 \cdot 3^n} = \frac{9 \cdot 3^n - 6n - 9}{4 \cdot 3^n}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{9}{4} - \frac{2n+3}{4\cdot 3^{n-1}}$

あるいは、

$S = \frac{9 \cdot 3^n - 6n - 9}{4 \cdot 3^n}$