放物線 $y = x^2 - 2x - 1$ と直線 $y = x - 1$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2x - 1$ と直線 $y = x - 1$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、放物線と直線の交点を求めます。

$x^2 - 2x - 1 = x - 1$ を解きます。

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

したがって、$x = 0, 3$。

交点の $x$ 座標は $0$ と $3$ です。

次に、$0 \le x \le 3$ の範囲で、直線と放物線の上下関係を確認します。

$x = 1$ のとき、$y = x^2 - 2x - 1 = 1 - 2 - 1 = -2$、$y = x - 1 = 1 - 1 = 0$。

したがって、$0 \le x \le 3$ の範囲で、直線 $y = x - 1$ が放物線 $y = x^2 - 2x - 1$ より上にあることがわかります。

求める面積 $S$ は、定積分で計算できます。

$S = \int_{0}^{3} [(x - 1) - (x^2 - 2x - 1)] dx$

$S = \int_{0}^{3} (x - 1 - x^2 + 2x + 1) dx$

$S = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) dx$

$S = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2]_{0}^{3}$

$S = (-\frac{1}{3}(3)^3 + \frac{3}{2}(3)^2) - (-\frac{1}{3}(0)^3 + \frac{3}{2}(0)^2)$

$S = (-\frac{1}{3}(27) + \frac{3}{2}(9)) - (0)$

$S = -9 + \frac{27}{2}$

$S = \frac{-18 + 27}{2}$

$S = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2}$