関数 $y = \frac{3}{4}x^4 - x^3 - 3x^2$ の極値を求め、グラフを描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{3}{4}x^4 - x^3 - 3x^2$ の極値を求め、グラフを描く問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数を微分して、$y'$を求めます。

$y' = 3x^3 - 3x^2 - 6x$

(2) 次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^3 - 3x^2 - 6x = 0$

$3x(x^2 - x - 2) = 0$

$3x(x-2)(x+1) = 0$

よって、$x = -1, 0, 2$ が極値の候補となる $x$ の値です。

(3) 次に、$y''$を求めます。

$y'' = 9x^2 - 6x - 6$

(4) $y''$に極値の候補となる $x$ の値を代入して、極大値と極小値を判定します。

* $x = -1$ のとき: $y''(-1) = 9(-1)^2 - 6(-1) - 6 = 9 + 6 - 6 = 9 > 0$。したがって、$x=-1$ で極小値をとります。$y(-1) = \frac{3}{4}(-1)^4 - (-1)^3 - 3(-1)^2 = \frac{3}{4} + 1 - 3 = \frac{3+4-12}{4} = -\frac{5}{4}$

* $x = 0$ のとき: $y''(0) = 9(0)^2 - 6(0) - 6 = -6 < 0$。したがって、$x=0$ で極大値をとります。$y(0) = 0$

* $x = 2$ のとき: $y''(2) = 9(2)^2 - 6(2) - 6 = 36 - 12 - 6 = 18 > 0$。したがって、$x=2$ で極小値をとります。$y(2) = \frac{3}{4}(2)^4 - (2)^3 - 3(2)^2 = \frac{3}{4}(16) - 8 - 3(4) = 12 - 8 - 12 = -8$

(5) 極値をまとめると、

* $x = -1$ で極小値 $-\frac{5}{4}$

* $x = 0$ で極大値 $0$

* $x = 2$ で極小値 $-8$

(6) グラフを描く際には、上記の極値の情報に加えて、関数の増減や凹凸などを考慮するとより正確なグラフが描けます。

3. 最終的な答え

極大値：$x=0$のとき $0$

極小値：$x=-1$のとき $-\frac{5}{4}$、 $x=2$のとき $-8$