$\int \sin^{-1}x \, dx$ を計算する問題です。

## 解答

1. 問題の内容

$\int \sin^{-1}x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を使って解くことができます。

まず、$u = \sin^{-1}x$、$dv = dx$ と置きます。

すると、$du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$、$v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

$\int \sin^{-1}x \, dx = x\sin^{-1}x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$

ここで、$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ を計算します。

$t = 1 - x^2$ と置換すると、$dt = -2x \, dx$ より、$x \, dx = -\frac{1}{2} dt$ となります。

よって、

$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} (-\frac{1}{2}) dt = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = -\frac{1}{2} \cdot 2t^{1/2} + C = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C$

したがって、

$\int \sin^{-1}x \, dx = x\sin^{-1}x - (-\sqrt{1 - x^2}) + C = x\sin^{-1}x + \sqrt{1 - x^2} + C$

3. 最終的な答え

$\int \sin^{-1}x \, dx = x\sin^{-1}x + \sqrt{1 - x^2} + C$