曲線 $y = \sqrt{x}$ について、点 $(-2, 0)$ を通る接線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = \sqrt{x}$ について、点 $(-2, 0)$ を通る接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 接点の座標を $(t, \sqrt{t})$ とおく。ただし、$t > 0$ とする。

(2) $y = \sqrt{x}$ を微分すると、

$$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

したがって、接線の方程式は、

$$y - \sqrt{t} = \frac{1}{2\sqrt{t}}(x - t)$$

(3) この接線が点 $(-2, 0)$ を通るので、

$$0 - \sqrt{t} = \frac{1}{2\sqrt{t}}(-2 - t)$$

両辺に $2\sqrt{t}$ をかけると、

$$-2t = -2 - t$$

$$t = 2$$

(4) よって、接点の座標は $(2, \sqrt{2})$ であり、接線の傾きは $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ である。

したがって、接線の方程式は、

$$y - \sqrt{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}(x - 2)$$

$$y = \frac{1}{2\sqrt{2}}x - \frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}$$

$$y = \frac{1}{2\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}$$

両辺に $2\sqrt{2}$ をかけると、

$$2\sqrt{2}y = x + 2$$

$$x - 2\sqrt{2}y + 2 = 0$$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{2\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}$ または $x - 2\sqrt{2}y + 2 = 0$

簡略化すると $y = \frac{\sqrt{2}}{4}x + \frac{\sqrt{2}}{2}$