与えられた三角関数の式を計算して、その値を求める問題です。具体的には以下の3つの問題を解きます。 (1) $\sin 80^\circ \cos 170^\circ - \cos 80^\circ \sin 170^\circ$ (2) $\sin 20^\circ + \sin 70^\circ + \cos 110^\circ + \cos 160^\circ$ (3) $\frac{1}{\tan^2 50^\circ} - \frac{1}{\cos^2 40^\circ}$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を計算して、その値を求める問題です。具体的には以下の3つの問題を解きます。

(1) $\sin 80^\circ \cos 170^\circ - \cos 80^\circ \sin 170^\circ$

(2) $\sin 20^\circ + \sin 70^\circ + \cos 110^\circ + \cos 160^\circ$

(3) $\frac{1}{\tan^2 50^\circ} - \frac{1}{\cos^2 40^\circ}$

2. 解き方の手順

(1)

これは正弦の加法定理 $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ を利用します。

$A = 80^\circ$, $B = 170^\circ$ とすると、

$\sin 80^\circ \cos 170^\circ - \cos 80^\circ \sin 170^\circ = \sin(80^\circ - 170^\circ) = \sin(-90^\circ) = -1$

(2)

$\cos(90^\circ + x) = -\sin x$ を利用して、

$\cos 110^\circ = \cos(90^\circ + 20^\circ) = -\sin 20^\circ$

$\cos 160^\circ = \cos(90^\circ + 70^\circ) = -\sin 70^\circ$

よって、

$\sin 20^\circ + \sin 70^\circ + \cos 110^\circ + \cos 160^\circ = \sin 20^\circ + \sin 70^\circ - \sin 20^\circ - \sin 70^\circ = 0$

(3)

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ より、$\frac{1}{\tan^2 x} = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$

$\tan 50^\circ = \frac{\sin 50^\circ}{\cos 50^\circ}$ なので、$\frac{1}{\tan^2 50^\circ} = \frac{\cos^2 50^\circ}{\sin^2 50^\circ}$

$\cos x = \sin (90^\circ - x)$ より、$\cos 40^\circ = \sin (90^\circ - 40^\circ) = \sin 50^\circ$

よって、

$\frac{1}{\tan^2 50^\circ} - \frac{1}{\cos^2 40^\circ} = \frac{\cos^2 50^\circ}{\sin^2 50^\circ} - \frac{1}{\sin^2 50^\circ} = \frac{\cos^2 50^\circ - 1}{\sin^2 50^\circ}$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、$\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$ なので、

$\frac{\cos^2 50^\circ - 1}{\sin^2 50^\circ} = \frac{-\sin^2 50^\circ}{\sin^2 50^\circ} = -1$

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) 0

(3) -1