## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題文は、微分積分学の期末試験の過去問であり、複数の積分計算、級数の収束発散の判定、収束半径の計算を含む問題から構成されています。具体的には、以下の問題が含まれています。

1. 有界閉領域での二重積分の計算（領域の図示を含む）

2. 別の有界閉領域での二重積分の計算

3. 別の有界閉領域での二重積分の計算

4. 別の有界閉領域での二重積分の計算

5. ベキ級数の収束半径の計算と、収束端点での収束・発散の判定、および特定の値における級数の和の評価

6. 数列の和で定義された係数を持つべき級数に関する問題

7. 別のべき級数の収束半径の計算と、収束端点での収束・発散の判定

8. 別のべき級数の収束半径の計算と、収束端点での収束・発散の判定

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2. 解き方の手順

問題が多岐にわたるため、それぞれの問題について一般的な解き方の手順を説明します。

1. **有界閉領域での二重積分の計算:**

* **領域の図示:** 領域 $D$ を$xy$平面上に正確に図示します。境界線の交点の座標を求めます。

* **積分の設定:** 積分領域$D$の形状に応じて、積分変数の範囲を設定します。直交座標、極座標など、適切な座標系を選択します。

* **積分の実行:** 積分を内側から順に実行します。必要に応じて部分積分や置換積分を行います。

2. **ベキ級数の収束判定:**

* **収束半径の計算:** 比判定法または根判定法を用いて収束半径$r$を計算します。

* 比判定法： $\displaystyle r = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$

* 根判定法： $\displaystyle r = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$

* **収束端点での判定:** $x = r$ および $x = -r$ における級数の収束・発散を調べます。比較判定法、積分判定法、交代級数判定法などを適用します。

* **級数の和の評価:** 特定の値における級数の和を求めるか、その範囲を評価します。等比級数やマクローリン展開などの既知の級数を利用します。

3. **数列の和で定義された係数を持つベキ級数:**

* $\sum_{k=1}^n kp^k$ の計算： 与えられた和を閉じた形で表現します。等比数列の和の公式とその微分などを利用します。

* 収束半径の計算：計算した係数を用いて、比判定法または根判定法を用いて収束半径を計算します。

* 端点における収束・発散の判定: 得られた収束半径を用いて、端点での収束・発散を調べます。

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3. 最終的な答え

問題が多岐に渡るため、それぞれの問題に対する具体的な解答は省略します。上記の解き方の手順を参考に、各問題に取り組んでください。 最終的な答えは、各問題ごとに得られる具体的な数値や関数となります。