関数 $y = \frac{1}{4x^3} + \frac{1}{2x^2} - 2\sqrt{x} + 1$ を $x$ で微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{4x^3} + \frac{1}{2x^2} - 2\sqrt{x} + 1$ を $x$ で微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分しやすい形に変形します。

$y = \frac{1}{4}x^{-3} + \frac{1}{2}x^{-2} - 2x^{\frac{1}{2}} + 1$

各項を微分します。

$\frac{d}{dx} (\frac{1}{4}x^{-3}) = \frac{1}{4}(-3)x^{-4} = -\frac{3}{4}x^{-4}$

$\frac{d}{dx} (\frac{1}{2}x^{-2}) = \frac{1}{2}(-2)x^{-3} = -x^{-3}$

$\frac{d}{dx} (-2x^{\frac{1}{2}}) = -2(\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}} = -x^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{d}{dx} (1) = 0$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}x^{-4} - x^{-3} - x^{-\frac{1}{2}} + 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4x^4} - \frac{1}{x^3} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4x^4} - \frac{1}{x^3} - \frac{1}{\sqrt{x}}$