関数 $y = 3\cos(ax + b)$ のグラフを $C$ とする。ただし、$0 < a < 1$, $0 < b < \pi/2$。 グラフ $C$ は点 $(0, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ と $(\pi, 0)$ を通る。 (1) $a$, $b$ の値を求め、関数 $C$ の周期のうち正で最小のものを求める。 (2) $C$ は、関数 $y = 3\cos(ax)$ のグラフを $x$ 軸方向にどれだけ平行移動したものかを求める。ただし、$-2\pi < \frac{\text{オカ}}{\text{キ}} \pi < 2\pi$ とする。 また、$0 \le x < 4\pi$ において、方程式 $3\cos(ax + b) = 4\sin x$ は何個の解をもつかを求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 3\cos(ax + b)$ のグラフを $C$ とする。ただし、$0 < a < 1$, $0 < b < \pi/2$。

グラフ $C$ は点 $(0, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ と $(\pi, 0)$ を通る。

(1) $a$, $b$ の値を求め、関数 $C$ の周期のうち正で最小のものを求める。

(2) $C$ は、関数 $y = 3\cos(ax)$ のグラフを $x$ 軸方向にどれだけ平行移動したものかを求める。ただし、$-2\pi < \frac{\text{オカ}}{\text{キ}} \pi < 2\pi$ とする。

また、$0 \le x < 4\pi$ において、方程式 $3\cos(ax + b) = 4\sin x$ は何個の解をもつかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(0, \frac{3\sqrt{3}}{2})$ を通ることから、

$3\cos(a \cdot 0 + b) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\cos(b) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 < b < \pi/2$ より $b = \frac{\pi}{6}$

点 $(\pi, 0)$ を通ることから、

$3\cos(a\pi + \frac{\pi}{6}) = 0$

$\cos(a\pi + \frac{\pi}{6}) = 0$

$a\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + n\pi$ ($n$ は整数)

$a = \frac{1}{2} + n - \frac{1}{6}$

$a = \frac{1}{3} + n$

$0 < a < 1$ より $n = 0$ のとき $a = \frac{1}{3}$

関数 $y = 3\cos(\frac{1}{3}x + \frac{\pi}{6})$ の周期は $\frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$

(2) $y = 3\cos(\frac{1}{3}x)$ を $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動すると $y = 3\cos(\frac{1}{3}(x - p)) = 3\cos(\frac{1}{3}x - \frac{p}{3})$

$y = 3\cos(\frac{1}{3}x + \frac{\pi}{6})$ と比較して $-\frac{p}{3} = \frac{\pi}{6}$

$p = -\frac{\pi}{2}$

$-2\pi < -\frac{\pi}{2} < 2\pi$ を満たす。

$3\cos(\frac{1}{3}x + \frac{\pi}{6}) = 4\sin x$

$0 \le x < 4\pi$ での解の個数を求める。

グラフを描いて解の個数を数える。

$y = 3\cos(\frac{1}{3}x + \frac{\pi}{6})$ と $y = 4\sin x$ のグラフを描画すると、交点の個数は4個となる。

3. 最終的な答え

ア: 1/3

イ: π/6

ウ: 6

エ: 6

オカ/キ: -1/2

ク: 4