与えられた4つの関数 $f(x)$ について、$n=4$ までのマクローリン展開（テイラー展開の$a=0$の場合）を求めよ。関数は以下の通り。 (1) $f(x) = \sin x$ (2) $f(x) = \sqrt{1+x}$ (3) $f(x) = x \sin x$ (4) $f(x) = \frac{x}{1+x}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数 $f(x)$ について、$n=4$ までのマクローリン展開（テイラー展開の$a=0$の場合）を求めよ。関数は以下の通り。

(1) $f(x) = \sin x$

(2) $f(x) = \sqrt{1+x}$

(3) $f(x) = x \sin x$

(4) $f(x) = \frac{x}{1+x}$

2. 解き方の手順

マクローリン展開は次の式で与えられる。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + \cdots$

各関数について、4次までの導関数を計算し、$x=0$ での値を求め、上記の式に代入する。

(1) $f(x) = \sin x$

$f(0) = \sin(0) = 0$

$f'(x) = \cos x$, $f'(0) = \cos(0) = 1$

$f''(x) = -\sin x$, $f''(0) = -\sin(0) = 0$

$f'''(x) = -\cos x$, $f'''(0) = -\cos(0) = -1$

$f''''(x) = \sin x$, $f''''(0) = \sin(0) = 0$

$\sin x = 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \cdots = x - \frac{x^3}{6} + \cdots$

(2) $f(x) = \sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2}$

$f(0) = \sqrt{1+0} = 1$

$f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2}$, $f'(0) = \frac{1}{2}$

$f''(x) = -\frac{1}{4}(1+x)^{-3/2}$, $f''(0) = -\frac{1}{4}$

$f'''(x) = \frac{3}{8}(1+x)^{-5/2}$, $f'''(0) = \frac{3}{8}$

$f''''(x) = -\frac{15}{16}(1+x)^{-7/2}$, $f''''(0) = -\frac{15}{16}$

$\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{4 \cdot 2}x^2 + \frac{3}{8 \cdot 6}x^3 - \frac{15}{16 \cdot 24}x^4 + \cdots = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \cdots$

(3) $f(x) = x \sin x$

$\sin x$ のマクローリン展開を利用する。$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots$

$x \sin x = x(x - \frac{x^3}{6} + \cdots) = x^2 - \frac{x^4}{6} + \cdots$

(4) $f(x) = \frac{x}{1+x}$

$f(x) = \frac{x}{1+x} = x (1+x)^{-1}$

$f(0) = 0$

$f'(x) = (1+x)^{-1} - x (1+x)^{-2} = \frac{1}{1+x} - \frac{x}{(1+x)^2}$, $f'(0) = 1$

$f''(x) = -(1+x)^{-2} - ( (1+x)^{-2} - 2x (1+x)^{-3} ) = -\frac{1}{(1+x)^2} - \frac{1}{(1+x)^2} + \frac{2x}{(1+x)^3}$, $f''(0) = -2$

$f'''(x) = 2(1+x)^{-3} + 2(1+x)^{-3} - 6x(1+x)^{-4} + 2(1+x)^{-3} = 6(1+x)^{-3} - 6x(1+x)^{-4}$, $f'''(0) = 6$

$f''''(x) = -18(1+x)^{-4} - 6(1+x)^{-4} + 24x(1+x)^{-5} = -24(1+x)^{-4} + 24x(1+x)^{-5}$, $f''''(0) = -24$

$\frac{x}{1+x} = 0 + 1x + \frac{-2}{2}x^2 + \frac{6}{6}x^3 + \frac{-24}{24}x^4 + \cdots = x - x^2 + x^3 - x^4 + \cdots$

あるいは、

$\frac{x}{1+x} = \frac{1+x-1}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x} = 1 - (1-x+x^2-x^3+x^4+...) = x - x^2 + x^3 - x^4 + ...$

3. 最終的な答え

(1) $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$

(2) $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \frac{5x^4}{128} + O(x^5)$

(3) $x \sin x = x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6)$

(4) $\frac{x}{1+x} = x - x^2 + x^3 - x^4 + O(x^5)$