## 問題の内容

## 問題の内容

与えられた対数関数を微分する問題です。具体的には、次の4つの関数について、それぞれ微分を求めます。

(1) $y = \log{\frac{(x+1)^2}{(x-1)^3}}$

(2) $y = \log{\frac{(x+1)^2}{x(x-1)}}$

(3) $y = \log(x^4\sqrt{x^3+1})$

(4) $y = \log(\sqrt[3]{x^2+1}\sqrt{x^3})$

## 解き方の手順

対数関数の微分を行う上で重要な公式は、

$(\log f(x))' = \frac{f'(x)}{f(x)}$

です。

また、対数の性質を利用して、計算を簡単にするのが有効です。

**(1) $y = \log{\frac{(x+1)^2}{(x-1)^3}}$**

まず、対数の性質を用いて関数を分解します。

$y = \log(x+1)^2 - \log(x-1)^3 = 2\log(x+1) - 3\log(x-1)$

次に、各項を微分します。

$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{x+1} - 3 \cdot \frac{1}{x-1}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) - 3(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x-2-3x-3}{(x+1)(x-1)} = \frac{-x-5}{(x+1)(x-1)} = -\frac{x+5}{x^2-1}$

**(2) $y = \log{\frac{(x+1)^2}{x(x-1)}}$**

対数の性質を用いて関数を分解します。

$y = \log(x+1)^2 - \log x - \log(x-1) = 2\log(x+1) - \log x - \log(x-1)$

各項を微分します。

$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} = \frac{2x(x-1) - (x+1)(x-1) - x(x+1)}{x(x+1)(x-1)} = \frac{2x^2 - 2x - (x^2 - 1) - (x^2 + x)}{x(x^2-1)} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 + 1 - x^2 - x}{x(x^2-1)} = \frac{-3x + 1}{x(x^2-1)}$

**(3) $y = \log(x^4\sqrt{x^3+1})$**

対数の性質を用いて関数を分解します。

$y = \log x^4 + \log \sqrt{x^3+1} = 4\log x + \frac{1}{2} \log(x^3+1)$

各項を微分します。

$\frac{dy}{dx} = 4 \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3x^2}{x^3+1}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{x} + \frac{3x^2}{2(x^3+1)} = \frac{8(x^3+1) + 3x^3}{2x(x^3+1)} = \frac{8x^3 + 8 + 3x^3}{2x(x^3+1)} = \frac{11x^3 + 8}{2x(x^3+1)}$

**(4) $y = \log(\sqrt[3]{x^2+1}\sqrt{x^3})$**

対数の性質を用いて関数を分解します。

$y = \log(x^2+1)^{1/3} + \log(x^3)^{1/2} = \frac{1}{3}\log(x^2+1) + \frac{1}{2}\log(x^3) = \frac{1}{3}\log(x^2+1) + \frac{3}{2}\log(x)$

各項を微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2x}{x^2+1} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3(x^2+1)} + \frac{3}{2x} = \frac{4x^2 + 9(x^2+1)}{6x(x^2+1)} = \frac{4x^2 + 9x^2 + 9}{6x(x^2+1)} = \frac{13x^2 + 9}{6x(x^2+1)}$

## 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x+5}{x^2-1}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{-3x+1}{x(x^2-1)}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{11x^3+8}{2x(x^3+1)}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{13x^2+9}{6x(x^2+1)}$