与えられた4つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = \sin^4 3x$ (2) $y = \tan^3 2x$ (3) $y = e^{x^3} \sin 2x$ (4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = \sin^4 3x$

(2) $y = \tan^3 2x$

(3) $y = e^{x^3} \sin 2x$

(4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^4 3x$ の微分

連鎖律を用いて微分します。

$y = u^4$, $u = \sin v$, $v = 3x$ と置くと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 4u^3$

$\frac{du}{dv} = \cos v$

$\frac{dv}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 4(\sin 3x)^3 \cdot \cos 3x \cdot 3 = 12 \sin^3 3x \cos 3x$

(2) $y = \tan^3 2x$ の微分

連鎖律を用いて微分します。

$y = u^3$, $u = \tan v$, $v = 2x$ と置くと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dv} = \sec^2 v$

$\frac{dv}{dx} = 2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3(\tan 2x)^2 \cdot \sec^2 2x \cdot 2 = 6 \tan^2 2x \sec^2 2x$

(3) $y = e^{x^3} \sin 2x$ の微分

積の微分法と連鎖律を用いて微分します。

$\frac{dy}{dx} = (e^{x^3})' \sin 2x + e^{x^3} (\sin 2x)'$

$(e^{x^3})' = e^{x^3} \cdot (x^3)' = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2 e^{x^3}$

$(\sin 2x)' = \cos 2x \cdot (2x)' = 2 \cos 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 e^{x^3} \sin 2x + e^{x^3} (2 \cos 2x) = e^{x^3} (3x^2 \sin 2x + 2 \cos 2x)$

(4) $y = \{\log(x^2 + 1)\}^3$ の微分

連鎖律を用いて微分します。

$y = u^3$, $u = \log v$, $v = x^2 + 1$ と置くと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dv} = \frac{1}{v}$

$\frac{dv}{dx} = 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3(\log(x^2 + 1))^2 \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{6x \{\log(x^2 + 1)\}^2}{x^2 + 1}$

3. 最終的な答え

(1) $12 \sin^3 3x \cos 3x$

(2) $6 \tan^2 2x \sec^2 2x$

(3) $e^{x^3} (3x^2 \sin 2x + 2 \cos 2x)$

(4) $\frac{6x \{\log(x^2 + 1)\}^2}{x^2 + 1}$