与えられた4つの関数に対して、指定された次数までのマクローリン展開（0を中心とするテイラー展開）を求めます。具体的には、 (1) $\cos x$ を $n=2m$ 次まで展開 (2) $\sin x$ を $n=2m+1$ 次まで展開 (3) $e^{2x}$ を有限項で展開 (4) $\log(1+x)$ を有限項で展開

1. 問題の内容

与えられた4つの関数に対して、指定された次数までのマクローリン展開（0を中心とするテイラー展開）を求めます。具体的には、

(1) $\cos x$ を $n=2m$ 次まで展開

(2) $\sin x$ を $n=2m+1$ 次まで展開

(3) $e^{2x}$ を有限項で展開

(4) $\log(1+x)$ を有限項で展開

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ に対して以下の式で与えられます。

$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + R_n(x)$

ここで、$f^{(k)}(0)$ は $f(x)$ の $k$ 階導関数の $x=0$ での評価、$k!$ は $k$ の階乗、$R_n(x)$ は剰余項です。

今回は有限マクローリン展開を求めるので、剰余項は省略します。

(1) $f(x) = \cos x$ のとき、$n=2m$ までのマクローリン展開を求める。

$\cos(0) = 1$

$\cos'(x) = -\sin x$ より $\cos'(0) = 0$

$\cos''(x) = -\cos x$ より $\cos''(0) = -1$

$\cos'''(x) = \sin x$ より $\cos'''(0) = 0$

$\cos^{(4)}(x) = \cos x$ より $\cos^{(4)}(0) = 1$

一般に、$\cos^{(2k)}(0) = (-1)^k$ および $\cos^{(2k+1)}(0) = 0$ となります。したがって、

$\cos x = \sum_{k=0}^{m} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots + \frac{(-1)^m}{(2m)!} x^{2m}$

(2) $f(x) = \sin x$ のとき、$n=2m+1$ までのマクローリン展開を求める。

$\sin(0) = 0$

$\sin'(x) = \cos x$ より $\sin'(0) = 1$

$\sin''(x) = -\sin x$ より $\sin''(0) = 0$

$\sin'''(x) = -\cos x$ より $\sin'''(0) = -1$

$\sin^{(4)}(x) = \sin x$ より $\sin^{(4)}(0) = 0$

一般に、$\sin^{(2k+1)}(0) = (-1)^k$ および $\sin^{(2k)}(0) = 0$ となります。したがって、

$\sin x = \sum_{k=0}^{m} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots + \frac{(-1)^m}{(2m+1)!} x^{2m+1}$

(3) $f(x) = e^{2x}$ のとき、マクローリン展開を求める。

$f^{(k)}(x) = 2^k e^{2x}$ より $f^{(k)}(0) = 2^k$

$e^{2x} = \sum_{k=0}^{n} \frac{2^k}{k!} x^k = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \dots$

(4) $f(x) = \log(1+x)$ のとき、マクローリン展開を求める。

$f(0) = \log(1) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$ より $f'(0) = 1$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$ より $f''(0) = -1$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$ より $f'''(0) = 2$

$f^{(4)}(x) = -\frac{6}{(1+x)^4}$ より $f^{(4)}(0) = -6$

一般に、$f^{(k)}(0) = (-1)^{k-1} (k-1)!$ for $k \geq 1$ となります。したがって、

$\log(1+x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1} (k-1)!}{k!} x^k = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^k = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$

3. 最終的な答え

(1) $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots + \frac{(-1)^m}{(2m)!} x^{2m}$

(2) $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots + \frac{(-1)^m}{(2m+1)!} x^{2m+1}$

(3) $e^{2x} = 1 + 2x + \frac{4x^2}{2!} + \frac{8x^3}{3!} + \frac{16x^4}{4!} + \dots = \sum_{k=0}^{n} \frac{2^k}{k!} x^k$

(4) $\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$