与えられた4つの関数について、n=4までの有限マクローリン展開を求める問題です。 つまり、与えられた関数 $f(x)$ を、次の形で近似します。 $f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、n=4までの有限マクローリン展開を求める問題です。 つまり、与えられた関数 $f(x)$ を、次の形で近似します。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \sin x$ の場合：

$f(0) = \sin 0 = 0$

$f'(x) = \cos x$, $f'(0) = \cos 0 = 1$

$f''(x) = -\sin x$, $f''(0) = -\sin 0 = 0$

$f'''(x) = -\cos x$, $f'''(0) = -\cos 0 = -1$

$f''''(x) = \sin x$, $f''''(0) = \sin 0 = 0$

したがって、$\sin x \approx 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 = x - \frac{x^3}{6}$

(2) $f(x) = \sqrt{1+x}$ の場合：

$f(0) = \sqrt{1+0} = 1$

$f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2}$, $f'(0) = \frac{1}{2}$

$f''(x) = -\frac{1}{4}(1+x)^{-3/2}$, $f''(0) = -\frac{1}{4}$

$f'''(x) = \frac{3}{8}(1+x)^{-5/2}$, $f'''(0) = \frac{3}{8}$

$f''''(x) = -\frac{15}{16}(1+x)^{-7/2}$, $f''''(0) = -\frac{15}{16}$

したがって、$\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2}x + \frac{-1/4}{2!}x^2 + \frac{3/8}{3!}x^3 + \frac{-15/16}{4!}x^4 = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4$

(3) $f(x) = x \sin x$ の場合：

(1)の結果を使うと、$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$ なので、

$x \sin x \approx x(x - \frac{x^3}{6}) = x^2 - \frac{x^4}{6}$

(4) $f(x) = \frac{x}{1+x}$ の場合：

$f(0) = \frac{0}{1+0} = 0$

$f'(x) = \frac{(1+x) - x}{(1+x)^2} = \frac{1}{(1+x)^2}$, $f'(0) = 1$

$f''(x) = -2(1+x)^{-3}$, $f''(0) = -2$

$f'''(x) = 6(1+x)^{-4}$, $f'''(0) = 6$

$f''''(x) = -24(1+x)^{-5}$, $f''''(0) = -24$

したがって、$\frac{x}{1+x} \approx 0 + 1 \cdot x + \frac{-2}{2!}x^2 + \frac{6}{3!}x^3 + \frac{-24}{4!}x^4 = x - x^2 + x^3 - x^4$

3. 最終的な答え

(1) $\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$

(2) $\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4$

(3) $x \sin x \approx x^2 - \frac{x^4}{6}$

(4) $\frac{x}{1+x} \approx x - x^2 + x^3 - x^4$