関数 $y = (2x)^x$ を対数微分法を用いて微分せよ。ただし、$x > 0$ とする。

## 問題45(1)

1. 問題の内容

関数 $y = (2x)^x$ を対数微分法を用いて微分せよ。ただし、$x > 0$ とする。

2. 解き方の手順

対数微分法は、関数が $y = f(x)^{g(x)}$ の形をしている場合に有効です。

手順は以下の通りです。

1. 両辺の自然対数をとる。

2. 両辺を $x$ で微分する。

3. $y'$ について解く。

まず、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln((2x)^x)$

$\ln y = x \ln(2x)$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分により $\frac{y'}{y}$ となります。右辺は積の微分法を使います。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx} [x \ln(2x)]$

$\frac{y'}{y} = \ln(2x) + x \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2$

$\frac{y'}{y} = \ln(2x) + 1$

最後に、$y'$ について解きます。

$y' = y (\ln(2x) + 1)$

$y' = (2x)^x (\ln(2x) + 1)$

3. 最終的な答え

$y' = (2x)^x (\ln(2x) + 1)$