与えられた関数 $y = \frac{1}{x^4} - \frac{2}{x^3} + \frac{3}{x^2} - \frac{1}{x} + 1$ を $x$ で微分しなさい。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1}{x^4} - \frac{2}{x^3} + \frac{3}{x^2} - \frac{1}{x} + 1$ を $x$ で微分しなさい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $x$ の負のべきの形で書き換えます。

$y = x^{-4} - 2x^{-3} + 3x^{-2} - x^{-1} + 1$

次に、各項を微分します。べき乗の微分公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を使用します。

- $x^{-4}$ の微分は $-4x^{-5}$

- $-2x^{-3}$ の微分は $(-2)(-3)x^{-4} = 6x^{-4}$

- $3x^{-2}$ の微分は $(3)(-2)x^{-3} = -6x^{-3}$

- $-x^{-1}$ の微分は $(-1)(-1)x^{-2} = x^{-2}$

- $1$ の微分は $0$

したがって、微分は次のようになります。

$\frac{dy}{dx} = -4x^{-5} + 6x^{-4} - 6x^{-3} + x^{-2} + 0$

最後に、これを分数式に戻します。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{x^5} + \frac{6}{x^4} - \frac{6}{x^3} + \frac{1}{x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{x^5} + \frac{6}{x^4} - \frac{6}{x^3} + \frac{1}{x^2}$