$\frac{13}{12}\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{3}{4}\pi$ および $\frac{19}{12}\pi = \frac{3}{4}\pi + \frac{5}{6}\pi$ であることを利用して、$\sin \frac{13}{12}\pi$, $\cos \frac{13}{12}\pi$, $\tan \frac{19}{12}\pi$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{13}{12}\pi = \frac{\pi}{3} + \frac{3}{4}\pi$ および $\frac{19}{12}\pi = \frac{3}{4}\pi + \frac{5}{6}\pi$ であることを利用して、$\sin \frac{13}{12}\pi$, $\cos \frac{13}{12}\pi$, $\tan \frac{19}{12}\pi$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \frac{13}{12}\pi$ の値を求める。

$\sin \frac{13}{12}\pi = \sin (\frac{\pi}{3} + \frac{3}{4}\pi)$

三角関数の加法定理 $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$ を用いる。

$\sin \frac{13}{12}\pi = \sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{3}{4}\pi + \cos \frac{\pi}{3} \sin \frac{3}{4}\pi$

$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \frac{3}{4}\pi = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\sin \frac{3}{4}\pi = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \frac{13}{12}\pi = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{-\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(2) $\cos \frac{13}{12}\pi$ の値を求める。

$\cos \frac{13}{12}\pi = \cos (\frac{\pi}{3} + \frac{3}{4}\pi)$

三角関数の加法定理 $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ を用いる。

$\cos \frac{13}{12}\pi = \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{3}{4}\pi - \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{3}{4}\pi$

$\cos \frac{13}{12}\pi = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(3) $\tan \frac{19}{12}\pi$ の値を求める。

$\tan \frac{19}{12}\pi = \tan (\frac{3}{4}\pi + \frac{5}{6}\pi)$

三角関数の加法定理 $\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$ を用いる。

$\tan \frac{3}{4}\pi = -1$

$\tan \frac{5}{6}\pi = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan \frac{19}{12}\pi = \frac{-1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - (-1)(-\frac{1}{\sqrt{3}})} = \frac{-1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{-\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(-\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{-3 - 2\sqrt{3} - 1}{3-1} = \frac{-4 - 2\sqrt{3}}{2} = -2-\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sin \frac{13}{12}\pi = \frac{-\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\cos \frac{13}{12}\pi = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

$\tan \frac{19}{12}\pi = -2 - \sqrt{3}$