与えられた数式を簡略化します。数式は $2 \log |1 + \tan^2 \frac{x}{2}|$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式を簡略化します。数式は $2 \log |1 + \tan^2 \frac{x}{2}|$ です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の恒等式 $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ を用います。

したがって、$1 + \tan^2 \frac{x}{2} = \sec^2 \frac{x}{2}$ となります。

数式に代入すると、$2 \log |\sec^2 \frac{x}{2}|$ となります。

次に、対数の性質 $a \log x = \log x^a$ を用います。

したがって、$2 \log |\sec^2 \frac{x}{2}| = \log |\sec^2 \frac{x}{2}|^2 = \log (\sec^4 \frac{x}{2})$ となります。

ここで、$\sec^4 \frac{x}{2} = (\sec^2 \frac{x}{2})^2$ です。

また、$\log x^2 = 2 \log |x|$という関係から、$\log(\sec^4 \frac{x}{2}) = \log(\sec^2(\frac{x}{2}))^2 = 2 \log |\sec^2 \frac{x}{2}| = 2 \log |\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}|$

$\sec^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}$ であるため、元の式は $2\log |\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}|$となります。対数の性質$\log \frac{a}{b} = \log a - \log b$ を用いると、$2 (\log 1 - \log |\cos^2 \frac{x}{2}|) = 2(0 - \log |\cos^2 \frac{x}{2}|) = -2 \log |\cos^2 \frac{x}{2}|$ となります。

さらに、対数の性質 $\log x^a = a \log x$ を用いると、$-2 \log |\cos^2 \frac{x}{2}| = -2 \cdot 2 \log |\cos \frac{x}{2}| = -4 \log |\cos \frac{x}{2}|$ となります。

または、最初に、$2 \log |\sec^2 \frac{x}{2}| = 2 \log |\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}| = 2 (\log 1 - \log |\cos^2 \frac{x}{2}|) = 2 (0 - \log |\cos^2 \frac{x}{2}|) = -2 \log |\cos^2 \frac{x}{2}| = -2 \cdot 2 \log |\cos \frac{x}{2}| = -4 \log |\cos \frac{x}{2}|$

3. 最終的な答え

$-4 \log |\cos \frac{x}{2}|$