問題は2つあります。 1つ目は、$\sin 165^\circ$ と $\cos 105^\circ$ の値を求める問題です。 2つ目は、$\sin \frac{5}{8}\pi$ と $\cos \frac{5}{8}\pi$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1つ目は、$\sin 165^\circ$ と $\cos 105^\circ$ の値を求める問題です。

2つ目は、$\sin \frac{5}{8}\pi$ と $\cos \frac{5}{8}\pi$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1:

$\sin 165^\circ$ と $\cos 105^\circ$ の値を求めるには、加法定理を利用します。

$\sin 165^\circ = \sin(120^\circ + 45^\circ) = \sin 120^\circ \cos 45^\circ + \cos 120^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$\cos 105^\circ = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

問題2:

$\sin \frac{5}{8}\pi$ と $\cos \frac{5}{8}\pi$ の値を求めるには、半角の公式を利用します。

$\frac{5}{8}\pi = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{4}\pi$ であることに注目します。

$\frac{5}{4}\pi$ は第3象限の角なので、$\cos \frac{5}{4}\pi = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin^2 \frac{5}{8}\pi = \frac{1 - \cos \frac{5}{4}\pi}{2} = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = \frac{2+\sqrt{2}}{4}$

$\frac{5}{8}\pi$ は第2象限の角なので、$\sin \frac{5}{8}\pi > 0$。

したがって、

$\sin \frac{5}{8}\pi = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

$\cos^2 \frac{5}{8}\pi = \frac{1 + \cos \frac{5}{4}\pi}{2} = \frac{1 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = \frac{2-\sqrt{2}}{4}$

$\frac{5}{8}\pi$ は第2象限の角なので、$\cos \frac{5}{8}\pi < 0$。

したがって、

$\cos \frac{5}{8}\pi = -\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}} = -\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

3. 最終的な答え

問題1:

$\sin 165^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$\cos 105^\circ = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

問題2:

$\sin \frac{5}{8}\pi = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

$\cos \frac{5}{8}\pi = -\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$