問題は、定積分 $\int_{1}^{\infty} x^{\alpha} dx$ (ただし、$\alpha > -1$) を計算することです。

1. 問題の内容

問題は、定積分 $\int_{1}^{\infty} x^{\alpha} dx$ (ただし、$\alpha > -1$) を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int x^{\alpha} dx$ を計算します。$\alpha \neq -1$ のとき、

$\int x^{\alpha} dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

次に、定積分を計算するために、以下の極限を考えます。

$\int_{1}^{\infty} x^{\alpha} dx = \lim_{M \to \infty} \int_{1}^{M} x^{\alpha} dx = \lim_{M \to \infty} \left[ \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} \right]_{1}^{M}$

$= \lim_{M \to \infty} \left( \frac{M^{\alpha+1}}{\alpha+1} - \frac{1^{\alpha+1}}{\alpha+1} \right) = \lim_{M \to \infty} \frac{M^{\alpha+1} - 1}{\alpha+1}$

この極限が存在するためには、$\alpha + 1 < 0$ である必要があります。つまり、$\alpha < -1$ である必要があります。しかし、問題では $\alpha > -1$ と与えられているため、この極限は存在しません（無限大に発散します）。

$\alpha > -1$ の場合、$\alpha+1 > 0$ となるので、$\lim_{M \to \infty} M^{\alpha+1} = \infty$ となり、したがって、積分は発散します。

3. 最終的な答え

$\int_{1}^{\infty} x^{\alpha} dx$ は発散する。