* (1) $\cos(\alpha - \beta)$ を $\sin \alpha, \cos \alpha, \sin \beta, \cos \beta$ を用いて表す。 * (2) $\cos{\frac{\pi}{12}}$ の値を求める。 * (3) $\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta$ を合成して、$\cos$ の関数で表す。

## 問題の解答

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1. 問題の内容

この問題は、三角関数、逆三角関数、不定積分、双曲線関数に関する4つの問題から構成されています。

1. 三角関数の加法定理と合成に関する問題

* (1) $\cos(\alpha - \beta)$ を $\sin \alpha, \cos \alpha, \sin \beta, \cos \beta$ を用いて表す。

* (2) $\cos{\frac{\pi}{12}}$ の値を求める。

* (3) $\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta$ を合成して、$\cos$ の関数で表す。

2. 関数の定義域と値域に関する問題

* 関数 $y = \sqrt{x}$ について、定義域 $x \in (1, \infty)$ の集合 $X$ から値域 $y \in [0, \infty)$ の集合 $Y$ への写像 $f$ を最も的確に表している図を、(a)~(c)から選ぶ。

3. 逆三角関数の微分と不定積分に関する問題

* (1) $\sin^{-1}{\frac{2x+1}{3}}$ の導関数を求める。

* (2) $\int \frac{dx}{9x^2 - 12x + 29}$ を求める。

4. 双曲線関数に関する問題

* (1) $\cosh^2 x - \sinh^2 x$ の値を求める。

* (2) $\int \frac{dx}{\sqrt{4x^2 + 12x + 25}}$ を求める。

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2. 解き方の手順

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1. (1) $\cos(\alpha - \beta)$ を $\sin \alpha, \cos \alpha, \sin \beta, \cos \beta$ を用いて表す**

これは三角関数の加法定理の公式を利用します。

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

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1. (2) $\cos{\frac{\pi}{12}}$ の値を求める**

$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}$ であることを利用して、加法定理を使います。

$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ を代入します。

$\cos \frac{\pi}{12} = \cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

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1. (3) $\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta$ を合成して、$\cos$ の関数で表す**

$r\cos(\theta + \alpha) = r\cos\theta \cos\alpha - r\sin\theta \sin\alpha$

$\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta = r\cos(\theta + \alpha) = -r\sin\theta \sin\alpha + r\cos\theta \cos\alpha$

係数を比較して，$r\cos\alpha = -1, -r\sin\alpha = \sqrt{3}$

$r^2 = (-1)^2 + (\sqrt{3})^2 = 4$ より $r = 2$

よって、$\cos\alpha = -\frac{1}{2}, \sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので $\alpha = \frac{4\pi}{3}$

$\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta = 2\cos(\theta + \frac{4\pi}{3})$

または、

$\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta = -2(-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta) = -2\cos(\theta + \frac{\pi}{3})$

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2. 関数 $y = \sqrt{x}$ について、定義域 $x \in (1, \infty)$ の集合 $X$ から値域 $y \in [0, \infty)$ の集合 $Y$ への写像 $f$ を最も的確に表している図を、(a)~(c)から選ぶ**

$x$が$(1, \infty)$なので、x1, x2, x3のようにXに複数の値がある。

yは $[0, \infty)$なので、$y_1, y_2, y_3$のようにYに複数の値がある。

このことから、(b)または(c)が候補となる。

xのそれぞれの値に対して、yの値は必ず１つに決まるので、(b)が答えである。

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3. (1) $\sin^{-1}{\frac{2x+1}{3}}$ の導関数を求める**

$\frac{d}{dx} \sin^{-1} u = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \frac{du}{dx}$ を利用します。

$u = \frac{2x+1}{3}$ より、$\frac{du}{dx} = \frac{2}{3}$

$\frac{d}{dx} \sin^{-1} \frac{2x+1}{3} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{2x+1}{3})^2}} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4x^2 + 4x + 1}{9}}} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{\sqrt{\frac{8 - 4x^2 - 4x}{9}}} \cdot \frac{2}{3}$

$= \frac{1}{\frac{1}{3} \sqrt{8 - 4x^2 - 4x}} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{\sqrt{8 - 4x - 4x^2}} = \frac{1}{\sqrt{2 - x - x^2}}$

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3. (2) 不定積分 $\int \frac{dx}{9x^2 - 12x + 29}$ を求める**

分母を平方完成します。

$9x^2 - 12x + 29 = 9(x^2 - \frac{4}{3}x) + 29 = 9(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}) - 9 \cdot \frac{4}{9} + 29 = 9(x - \frac{2}{3})^2 + 25$

$\int \frac{dx}{9x^2 - 12x + 29} = \int \frac{dx}{9(x - \frac{2}{3})^2 + 25} = \frac{1}{9} \int \frac{dx}{(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{25}{9}}$

$u = x - \frac{2}{3}$ とすると $du = dx$

$\frac{1}{9} \int \frac{du}{u^2 + (\frac{5}{3})^2} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\frac{5}{3}} \arctan(\frac{u}{\frac{5}{3}}) + C = \frac{1}{15} \arctan(\frac{3u}{5}) + C = \frac{1}{15} \arctan(\frac{3(x - \frac{2}{3})}{5}) + C = \frac{1}{15} \arctan(\frac{3x - 2}{5}) + C$

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4. (1) $\cosh^2 x - \sinh^2 x$ の値を求める**

双曲線関数の定義より $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = (\frac{e^x + e^{-x}}{2})^2 - (\frac{e^x - e^{-x}}{2})^2 = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{4}{4} = 1$

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4. (2) 不定積分 $\int \frac{dx}{\sqrt{4x^2 + 12x + 25}}$ を求める**

$4x^2 + 12x + 25 = 4(x^2 + 3x) + 25 = 4(x^2 + 3x + \frac{9}{4}) - 4 \cdot \frac{9}{4} + 25 = 4(x + \frac{3}{2})^2 + 16 = 4[(x + \frac{3}{2})^2 + 4]$

$\int \frac{dx}{\sqrt{4x^2 + 12x + 25}} = \int \frac{dx}{\sqrt{4[(x + \frac{3}{2})^2 + 4]}} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{(x + \frac{3}{2})^2 + 4}} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{(x + \frac{3}{2})^2 + 2^2}}$

$u = x + \frac{3}{2}$ とすると $du = dx$

$\frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{u^2 + 2^2}} = \frac{1}{2} \sinh^{-1} (\frac{u}{2}) + C = \frac{1}{2} \sinh^{-1} (\frac{x + \frac{3}{2}}{2}) + C = \frac{1}{2} \sinh^{-1} (\frac{2x + 3}{4}) + C$

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3. 最終的な答え

1. (1) $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

(2) $\cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

(3) $\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta = 2\cos(\theta + \frac{4\pi}{3})$ または $-2\cos(\theta + \frac{\pi}{3})$

2. (b)

3. (1) $\frac{1}{\sqrt{2 - x - x^2}}$

(2) $\frac{1}{15} \arctan(\frac{3x - 2}{5}) + C$

4. (1) $1$

(2) $\frac{1}{2} \sinh^{-1} (\frac{2x + 3}{4}) + C$