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$\int \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 4}{(x-1)^2(x^2+1)} dx$ を計算する問題です。

解析学積分部分分数分解不定積分
2025/8/3

1. 問題の内容

∫x3−2x2+3x−4(x−1)2(x2+1)dx\int \frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 4}{(x-1)^2(x^2+1)} dx を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。
x3−2x2+3x−4(x−1)2(x2+1)=Ax−1+B(x−1)2+Cx+Dx2+1\frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 4}{(x-1)^2(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{Cx+D}{x^2+1}
両辺に(x−1)2(x2+1)(x-1)^2(x^2+1)を掛けると、
x3−2x2+3x−4=A(x−1)(x2+1)+B(x2+1)+(Cx+D)(x−1)2x^3 - 2x^2 + 3x - 4 = A(x-1)(x^2+1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x-1)^2
x3−2x2+3x−4=A(x3−x2+x−1)+B(x2+1)+(Cx+D)(x2−2x+1)x^3 - 2x^2 + 3x - 4 = A(x^3 - x^2 + x - 1) + B(x^2+1) + (Cx+D)(x^2 - 2x + 1)
x3−2x2+3x−4=Ax3−Ax2+Ax−A+Bx2+B+Cx3−2Cx2+Cx+Dx2−2Dx+Dx^3 - 2x^2 + 3x - 4 = Ax^3 - Ax^2 + Ax - A + Bx^2 + B + Cx^3 - 2Cx^2 + Cx + Dx^2 - 2Dx + D
x3−2x2+3x−4=(A+C)x3+(−A+B−2C+D)x2+(A+C−2D)x+(−A+B+D)x^3 - 2x^2 + 3x - 4 = (A+C)x^3 + (-A+B-2C+D)x^2 + (A+C-2D)x + (-A+B+D)
係数を比較すると、以下の連立方程式が得られます。
\begin{align*} \label{eq:1} A+C &= 1 \\ -A+B-2C+D &= -2 \\ A+C-2D &= 3 \\ -A+B+D &= -4 \end{align*}
最初の式A+C=1A+C = 1を3番目の式に代入すると、1−2D=31 - 2D = 3となり、−2D=2-2D = 2なので、D=−1D = -1。
4番目の式 −A+B+D=−4-A+B+D = -4にD=−1D=-1を代入すると、−A+B−1=−4-A+B-1 = -4となり、−A+B=−3-A+B = -3。
2番目の式 −A+B−2C+D=−2-A+B-2C+D = -2にD=−1D=-1を代入すると、−A+B−2C−1=−2-A+B-2C-1 = -2となり、−A+B−2C=−1-A+B-2C = -1。
−A+B=−3-A+B=-3を−A+B−2C=−1-A+B-2C = -1に代入すると、−3−2C=−1-3-2C = -1となり、−2C=2-2C = 2なので、C=−1C = -1。
A+C=1A+C = 1にC=−1C=-1を代入すると、A−1=1A-1 = 1となり、A=2A = 2。
−A+B=−3-A+B = -3にA=2A=2を代入すると、−2+B=−3-2+B = -3となり、B=−1B = -1。
よって、 A=2,B=−1,C=−1,D=−1A=2, B=-1, C=-1, D=-1なので、
x3−2x2+3x−4(x−1)2(x2+1)=2x−1−1(x−1)2+−x−1x2+1=2x−1−1(x−1)2−xx2+1−1x2+1\frac{x^3 - 2x^2 + 3x - 4}{(x-1)^2(x^2+1)} = \frac{2}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{-x-1}{x^2+1} = \frac{2}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} - \frac{x}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+1}
∫2x−1dx=2ln⁡∣x−1∣\int \frac{2}{x-1} dx = 2\ln|x-1|
∫−1(x−1)2dx=1x−1\int \frac{-1}{(x-1)^2} dx = \frac{1}{x-1}
∫−xx2+1dx=−12ln⁡(x2+1)\int \frac{-x}{x^2+1} dx = -\frac{1}{2} \ln(x^2+1)
∫−1x2+1dx=−arctan⁡x\int \frac{-1}{x^2+1} dx = -\arctan x
したがって、積分は
2ln⁡∣x−1∣+1x−1−12ln⁡(x2+1)−arctan⁡x+C2\ln|x-1| + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{2} \ln(x^2+1) - \arctan x + C

3. 最終的な答え

2ln⁡∣x−1∣+1x−1−12ln⁡(x2+1)−arctan⁡x+C2\ln|x-1| + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{2}\ln(x^2+1) - \arctan x + C

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