問題96の(2)と問題97を解きます。 問題96(2)は、放物線 $y = x^2 - 5x$ とx軸で囲まれた部分の面積を求めます。 問題97は、放物線 $y = 3x^2 + x - 6$ と直線 $y = -2x$ で囲まれた部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

問題96の(2)と問題97を解きます。

問題96(2)は、放物線 $y = x^2 - 5x$ とx軸で囲まれた部分の面積を求めます。

問題97は、放物線 $y = 3x^2 + x - 6$ と直線 $y = -2x$ で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

問題96(2)から解きます。

放物線 $y = x^2 - 5x$ とx軸との交点を求めます。

$x^2 - 5x = 0$ を解くと、$x(x - 5) = 0$ より $x = 0, 5$ となります。

放物線は $x$軸より下にあるため、面積 $S$ は定積分を負にしたものになります。

$S = -\int_{0}^{5} (x^2 - 5x) dx$

$S = -\left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 \right]_0^5$

$S = -\left( \frac{1}{3}(5^3) - \frac{5}{2}(5^2) - 0 \right)$

$S = -\left( \frac{125}{3} - \frac{125}{2} \right)$

$S = -\left( \frac{250 - 375}{6} \right)$

$S = -\left( -\frac{125}{6} \right)$

$S = \frac{125}{6}$

次に問題97を解きます。

放物線 $y = 3x^2 + x - 6$ と直線 $y = -2x$ の交点を求めます。

$3x^2 + x - 6 = -2x$ を解くと、$3x^2 + 3x - 6 = 0$ となり、$x^2 + x - 2 = 0$ と簡略化できます。

$(x + 2)(x - 1) = 0$ より、$x = -2, 1$ となります。

面積 $S$ は定積分で表されます。

$S = \int_{-2}^{1} ((-2x) - (3x^2 + x - 6)) dx$

$S = \int_{-2}^{1} (-3x^2 - 3x + 6) dx$

$S = \left[ -x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 6x \right]_{-2}^1$

$S = \left( -1^3 - \frac{3}{2}(1^2) + 6(1) \right) - \left( -(-2)^3 - \frac{3}{2}(-2)^2 + 6(-2) \right)$

$S = \left( -1 - \frac{3}{2} + 6 \right) - \left( 8 - 6 - 12 \right)$

$S = \left( 5 - \frac{3}{2} \right) - \left( -10 \right)$

$S = \frac{7}{2} + 10$

$S = \frac{7 + 20}{2}$

$S = \frac{27}{2}$

3. 最終的な答え

問題96(2)の答え: $\frac{125}{6}$

問題97の答え: $\frac{27}{2}$