放物線 $y = x^2 + 2x - 3$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 2x - 3$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$y = x^2 + 2x - 3$ を因数分解すると、

$y = (x+3)(x-1)$

となります。

したがって、$x$ 軸との交点は $x = -3$ と $x = 1$ です。

$x$ が $-3 \le x \le 1$ の範囲で、$x^2+2x-3 \le 0$ なので、面積 $S$ は定積分を用いて次のように計算できます。

$S = -\int_{-3}^1 (x^2 + 2x - 3) dx$

積分を計算します。

$S = - \left[ \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x \right]_{-3}^1$

$S = - \left[ \left( \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 - 3(1) \right) - \left( \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3) \right) \right]$

$S = - \left[ \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right) - \left( \frac{1}{3}(-27) + 9 + 9 \right) \right]$

$S = - \left[ \left( \frac{1}{3} - 2 \right) - \left( -9 + 18 \right) \right]$

$S = - \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{6}{3} \right) - 9 \right]$

$S = - \left[ -\frac{5}{3} - 9 \right]$

$S = - \left[ -\frac{5}{3} - \frac{27}{3} \right]$

$S = - \left[ -\frac{32}{3} \right]$

$S = \frac{32}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{32}{3}$