(1) $\cos(\alpha - \beta)$ を $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\sin \beta$, $\cos \beta$ を用いて表す。 (2) $\cos \frac{\pi}{12}$ の値を求める。 (3) $\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta$ を合成して、$\cos$ の関数で表す。

## 回答

###

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

1. 三角関数に関する問題。

(1) $\cos(\alpha - \beta)$ を $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\sin \beta$, $\cos \beta$ を用いて表す。

(2) $\cos \frac{\pi}{12}$ の値を求める。

(3) $\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta$ を合成して、$\cos$ の関数で表す。

2. 関数 $y = \sqrt{x}$ について、定義域 $x$ の集合を $X$ とし、値域 $y \in [0, \infty)$ の集合を $Y$ とする。定義域を $x \in (1, \infty)$ とするとき、$X$ から $Y$ への写像 $f$ を最も的確に表している図を選択する。

3. 次の関数の微分と積分を求める。

(1) $\sin^{-1} \frac{2x+1}{3}$ の導関数を求める。

(2) $\int \frac{dx}{9x^2 - 12x + 29}$ を求める。

4. 双曲線関数に関する問題。

(1) $\cosh^2 x - \sinh^2 x$ の値を求める。

(2) $\int \frac{dx}{\sqrt{4x^2 + 12x + 25}}$ を求める。ただし、$\frac{d}{dx} (\sinh^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ を証明なしに用いてよい。

###

2. 解き方の手順

1. **三角関数**

(1) $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

(2) $\cos \frac{\pi}{12} = \cos( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} ) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

(3) $\sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta - \frac{1}{2} \cos \theta) = 2(\cos \frac{\pi}{6} \sin \theta - \sin \frac{\pi}{6} \cos \theta) = -2\sin(\frac{\pi}{6}-\theta) = 2(\sin\theta\cos(\frac{\pi}{6})-\cos\theta\sin(\frac{\pi}{6})) = 2(-\cos(\theta + \frac{\pi}{3}))$。

2. **関数の対応**

定義域は $x \in (1, \infty)$ なので、$X$ から $Y$ への写像。$y = \sqrt{x}$ の値域は $y \in (1,\infty)$

図 (b) は $X$ から $Y$ への一対一の対応を示している。よって、(b) が最も的確。

3. **微分と積分**

(1) $y = \sin^{-1} \frac{2x+1}{3}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{2x+1}{3})^2}} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3\sqrt{1 - \frac{(2x+1)^2}{9}}} = \frac{2}{3\sqrt{\frac{9 - (4x^2 + 4x + 1)}{9}}} = \frac{2}{\sqrt{8 - 4x^2 - 4x}} = \frac{1}{\sqrt{2 - x^2 - x}} = \frac{1}{\sqrt{- (x+\frac{1}{2})^2+\frac{9}{4}}} = \frac{2}{\sqrt{8-4x-4x^2}} = \frac{2}{\sqrt{4(2-x-x^2)}} = \frac{1}{\sqrt{2-x-x^2}}$

(2) $\int \frac{dx}{9x^2 - 12x + 29} = \int \frac{dx}{(3x - 2)^2 + 25} = \frac{1}{3} \int \frac{d(3x - 2)}{(3x - 2)^2 + 5^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} \arctan(\frac{3x - 2}{5}) + C = \frac{1}{15} \arctan(\frac{3x - 2}{5}) + C$

4. **双曲線関数**

(1) $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$

(2) $\int \frac{dx}{\sqrt{4x^2 + 12x + 25}} = \int \frac{dx}{\sqrt{4(x^2 + 3x) + 25}} = \int \frac{dx}{\sqrt{4(x + \frac{3}{2})^2 - 9 + 25}} = \int \frac{dx}{\sqrt{4(x + \frac{3}{2})^2 + 16}} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{\sqrt{(x + \frac{3}{2})^2 + 4}} = \frac{1}{2} \sinh^{-1}(\frac{x+\frac{3}{2}}{2}) + C = \frac{1}{2}\sinh^{-1}(\frac{2x+3}{4}) + C$

###

3. 最終的な答え

1. (1) $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

(2) $\cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

(3) $-2\cos(\theta+\frac{\pi}{3})$

2. (b)

3. (1) $\frac{1}{\sqrt{2 - x^2 - x}}$

(2) $\frac{1}{15} \arctan(\frac{3x - 2}{5}) + C$

4. (1) $1$

(2) $\frac{1}{2} \sinh^{-1}(\frac{2x+3}{4}) + C$