次の極限値を求めます。 $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + x^2)}{\log(1 + x)}$

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + x^2)}{\log(1 + x)}$

2. 解き方の手順

$x \to \infty$ のとき、$1 + x^2 \approx x^2$ および $1 + x \approx x$ であるため、次のように近似できます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + x^2)}{\log(1 + x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(x^2)}{\log(x)}$

対数の性質 $\log(a^b) = b \log(a)$ を利用すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(x^2)}{\log(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2\log(x)}{\log(x)}$

$\log(x)$ で約分すると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2\log(x)}{\log(x)} = \lim_{x \to \infty} 2 = 2$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + x^2)}{\log(1 + x)} = 2$

3. 最終的な答え

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