問題は、次の定積分を計算することです。 $$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2 + 1} dx $$

1. 問題の内容

問題は、次の定積分を計算することです。

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2 + 1} dx$$

2. 解き方の手順

この積分を解くためには、複素積分を利用します。まず、$\cos x$を$e^{ix}$の実部と考え、次の複素積分を考えます。

$$\oint_C \frac{e^{iz}}{z^2 + 1} dz$$

ここで、$C$は実軸上の区間$[-R, R]$と、上半平面の半径$R$の半円弧からなる閉路です。$R \to \infty$の極限を考えます。

被積分関数の極は、$z^2 + 1 = 0$の解である$z = \pm i$です。閉路$C$内にある極は$z = i$のみです。

留数定理より、

$$\oint_C \frac{e^{iz}}{z^2 + 1} dz = 2\pi i \cdot \text{Res}(f, i)$$

ここで、$f(z) = \frac{e^{iz}}{z^2 + 1}$です。$z=i$における留数は、

$$\text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} (z - i) \frac{e^{iz}}{z^2 + 1} = \lim_{z \to i} (z - i) \frac{e^{iz}}{(z - i)(z + i)} = \lim_{z \to i} \frac{e^{iz}}{z + i} = \frac{e^{i \cdot i}}{i + i} = \frac{e^{-1}}{2i}$$

したがって、

$$\oint_C \frac{e^{iz}}{z^2 + 1} dz = 2\pi i \cdot \frac{e^{-1}}{2i} = \frac{\pi}{e}$$

次に、積分路$C$を実軸上の区間$[-R, R]$と半円弧に分割します。

$$\oint_C \frac{e^{iz}}{z^2 + 1} dz = \int_{-R}^R \frac{e^{ix}}{x^2 + 1} dx + \int_{\text{半円弧}} \frac{e^{iz}}{z^2 + 1} dz$$

$R \to \infty$のとき、半円弧上の積分は0に収束します（ジョルダンの補題）。よって、

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ix}}{x^2 + 1} dx = \frac{\pi}{e}$$

ここで、$e^{ix} = \cos x + i \sin x$なので、

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x + i \sin x}{x^2 + 1} dx = \frac{\pi}{e}$$

実部と虚部を比較すると、

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2 + 1} dx = \frac{\pi}{e}$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x^2 + 1} dx = 0$$

求める積分は、

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2 + 1} dx$$

したがって、

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2 + 1} dx = \frac{\pi}{e}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{e}$