与えられた問題は、広義積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{e^x}$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、広義積分 $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{e^x}$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を指数関数の形に書き換えます。

$\frac{1}{e^x} = e^{-x}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$

次に、不定積分を計算します。

$\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C$

広義積分を計算するために、上限を $t$ とし、$t \to \infty$ の極限を取ります。

$\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{-x} dx = \lim_{t \to \infty} [-e^{-x}]_{0}^{t}$

積分範囲を代入すると、次のようになります。

$\lim_{t \to \infty} (-e^{-t} - (-e^{-0})) = \lim_{t \to \infty} (-e^{-t} + 1)$

$t \to \infty$ のとき、$e^{-t} \to 0$ なので、

$\lim_{t \to \infty} (-e^{-t} + 1) = -0 + 1 = 1$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{e^x} = 1$