$\int_{\sqrt{3}/2}^{0} \arcsin(x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{\sqrt{3}/2}^{0} \arcsin(x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を使って解きます。

部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

ここでは、$u = \arcsin(x)$、$dv = dx$ とします。

すると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$、$v = x$ となります。

したがって、

$\int \arcsin(x) dx = x \arcsin(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

次に、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。

$t = 1-x^2$ と置換すると、$dt = -2x dx$ となり、$x dx = -\frac{1}{2} dt$ です。

したがって、

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} dt = -\frac{1}{2} \cdot 2t^{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

よって、$\int \arcsin(x) dx = x \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} + C$ となります。

最後に、定積分を計算します。

$\int_{\sqrt{3}/2}^{0} \arcsin(x) dx = \left[ x \arcsin(x) + \sqrt{1-x^2} \right]_{\sqrt{3}/2}^{0}$

$= (0 \cdot \arcsin(0) + \sqrt{1-0^2}) - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \right)$

$= (0 + 1) - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\pi}{3} + \sqrt{1 - \frac{3}{4}} \right)$

$= 1 - \left( \frac{\sqrt{3}\pi}{6} + \sqrt{\frac{1}{4}} \right) = 1 - \frac{\sqrt{3}\pi}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\pi}{6}$