与えられた3つの関数について、それぞれの第2次導関数を求めます。 (1) $y = \frac{1}{x+2}$ (2) $y = x \sin x$ (3) $y = \log(x^2 + 2)$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、それぞれの第2次導関数を求めます。

(1) $y = \frac{1}{x+2}$

(2) $y = x \sin x$

(3) $y = \log(x^2 + 2)$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x+2}$ の場合

まず、第1次導関数を求めます。

$y = (x+2)^{-1}$ と書き換えることができます。

$y' = -1(x+2)^{-2} = -\frac{1}{(x+2)^2}$

次に、第2次導関数を求めます。

$y'' = -(-2)(x+2)^{-3} = 2(x+2)^{-3} = \frac{2}{(x+2)^3}$

(2) $y = x \sin x$ の場合

まず、第1次導関数を求めます。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

$y' = (x)' \sin x + x (\sin x)' = \sin x + x \cos x$

次に、第2次導関数を求めます。

$y'' = (\sin x)' + (x \cos x)' = \cos x + (x)' \cos x + x (\cos x)' = \cos x + \cos x - x \sin x = 2 \cos x - x \sin x$

(3) $y = \log(x^2 + 2)$ の場合

まず、第1次導関数を求めます。合成関数の微分公式を使います。

$y' = \frac{1}{x^2 + 2} \cdot (x^2 + 2)' = \frac{2x}{x^2 + 2}$

次に、第2次導関数を求めます。商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使います。

$y'' = \frac{(2x)'(x^2 + 2) - 2x(x^2 + 2)'}{(x^2 + 2)^2} = \frac{2(x^2 + 2) - 2x(2x)}{(x^2 + 2)^2} = \frac{2x^2 + 4 - 4x^2}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-2x^2 + 4}{(x^2 + 2)^2} = \frac{-2(x^2 - 2)}{(x^2 + 2)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y'' = \frac{2}{(x+2)^3}$

(2) $y'' = 2 \cos x - x \sin x$

(3) $y'' = \frac{-2(x^2 - 2)}{(x^2 + 2)^2}$