問題1では、$sin\frac{5}{8}\pi$, $cos\frac{5}{8}\pi$, $sin\frac{7}{12}\pi$, $cos\frac{7}{12}\pi$の値を求めます。 問題2では、$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ かつ $sin\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ のとき、$cos\alpha$, $sin\frac{\alpha}{2}$, $cos\frac{\alpha}{2}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

問題1では、$sin\frac{5}{8}\pi$, $cos\frac{5}{8}\pi$, $sin\frac{7}{12}\pi$, $cos\frac{7}{12}\pi$の値を求めます。

問題2では、$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ かつ $sin\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ のとき、$cos\alpha$, $sin\frac{\alpha}{2}$, $cos\frac{\alpha}{2}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

問題1(1)

$\frac{5}{8}\pi = \frac{1}{2}\cdot\frac{5}{4}\pi$ なので、半角の公式を利用します。

まず、$cos\frac{5}{4}\pi = cos( \pi + \frac{\pi}{4}) = -cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$sin^2\frac{5}{8}\pi = \frac{1 - cos\frac{5}{4}\pi}{2} = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

$\frac{\pi}{2} < \frac{5}{8}\pi < \pi$ なので、$sin\frac{5}{8}\pi > 0$

よって、$sin\frac{5}{8}\pi = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$cos^2\frac{5}{8}\pi = \frac{1 + cos\frac{5}{4}\pi}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

$\frac{\pi}{2} < \frac{5}{8}\pi < \pi$ なので、$cos\frac{5}{8}\pi < 0$

よって、$cos\frac{5}{8}\pi = -\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

問題1(2)

$\frac{7}{12}\pi = \frac{1}{2}\cdot\frac{7}{6}\pi$ なので、半角の公式を利用します。

まず、$cos\frac{7}{6}\pi = cos( \pi + \frac{\pi}{6}) = -cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$sin^2\frac{7}{12}\pi = \frac{1 - cos\frac{7}{6}\pi}{2} = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

$\frac{\pi}{2} < \frac{7}{12}\pi < \pi$ なので、$sin\frac{7}{12}\pi > 0$

よって、$sin\frac{7}{12}\pi = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

$cos^2\frac{7}{12}\pi = \frac{1 + cos\frac{7}{6}\pi}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

$\frac{\pi}{2} < \frac{7}{12}\pi < \pi$ なので、$cos\frac{7}{12}\pi < 0$

よって、$cos\frac{7}{12}\pi = -\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

問題2(1)

$sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ より、$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$

$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ なので、$cos\alpha < 0$

よって、$cos\alpha = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3}$

問題2(2)

$sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - cos\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{1}{3})}{2} = \frac{1 + \frac{1}{3}}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$ なので、$sin\frac{\alpha}{2} > 0$

よって、$sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

問題2(3)

$cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + cos\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$ なので、$cos\frac{\alpha}{2} > 0$

よって、$cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

問題1(1): $sin\frac{5}{8}\pi = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$, $cos\frac{5}{8}\pi = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

問題1(2): $sin\frac{7}{12}\pi = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$, $cos\frac{7}{12}\pi = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

問題2(1): $cos\alpha = -\frac{1}{3}$

問題2(2): $sin\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

問題2(3): $cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$