与えられた関数の、指定された点における接平面の方程式を求める問題です。特に3番目の関数 $z = \frac{x}{x+y}$ について、点 $(-2, 1, 2)$ における接平面の方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数の、指定された点における接平面の方程式を求める問題です。特に3番目の関数 $z = \frac{x}{x+y}$ について、点 $(-2, 1, 2)$ における接平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

接平面の方程式は、関数 $z = f(x, y)$ に対して、点 $(x_0, y_0, z_0)$ において次のように表されます。

$z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$

ここで、$f_x$ と $f_y$ はそれぞれ $f$ の $x$ と $y$ に関する偏微分を表します。

まず、$f(x, y) = \frac{x}{x+y}$ の偏微分を計算します。

$f_x = \frac{(x+y)(1) - x(1)}{(x+y)^2} = \frac{y}{(x+y)^2}$

$f_y = \frac{(x+y)(0) - x(1)}{(x+y)^2} = \frac{-x}{(x+y)^2}$

次に、点 $(-2, 1)$ における偏微分の値を計算します。

$f_x(-2, 1) = \frac{1}{(-2+1)^2} = \frac{1}{1} = 1$

$f_y(-2, 1) = \frac{-(-2)}{(-2+1)^2} = \frac{2}{1} = 2$

したがって、接平面の方程式は次のようになります。

$z - 2 = 1(x - (-2)) + 2(y - 1)$

$z - 2 = x + 2 + 2y - 2$

$z = x + 2y + 2$

3. 最終的な答え

接平面の方程式は $z = x + 2y + 2$ です。

または、

$x + 2y - z + 2 = 0$