$\int \frac{1}{\cos x} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{\cos x} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\cos x}$ は $\sec x$ と書けるので、積分は $\int \sec x dx$ となります。

$\sec x$ の積分は一般的に知られていますが、導出の手順を示します。

まず、分子と分母に $(\sec x + \tan x)$ を掛けます。

$\int \sec x dx = \int \frac{\sec x (\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} dx$

ここで、$u = \sec x + \tan x$ と置換すると、

$\frac{du}{dx} = \sec x \tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x)$

となります。よって、 $du = \sec x (\sec x + \tan x) dx$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{\sec x (\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} dx = \int \frac{1}{u} du$

$\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C$

$u$ を $\sec x + \tan x$ に戻すと、

$\int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x| + C$

3. 最終的な答え

$\ln |\sec x + \tan x| + C$