広義積分の値を求める問題です。以下の3つの積分を計算します。 (i) $\int_{0}^{1} x \log x \, dx$ (ii) $\int_{0}^{5} \frac{1}{\sqrt{5-x}} \, dx$ (iii) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx$

1. 問題の内容

広義積分の値を求める問題です。以下の3つの積分を計算します。

(i) $\int_{0}^{1} x \log x \, dx$

(ii) $\int_{0}^{5} \frac{1}{\sqrt{5-x}} \, dx$

(iii) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx$

2. 解き方の手順

(i) $\int_{0}^{1} x \log x \, dx$ の計算

部分積分を用いて計算します。$u = \log x$, $dv = x \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x \log x \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

したがって、

$\int_{0}^{1} x \log x \, dx = \lim_{a \to +0} \int_{a}^{1} x \log x \, dx = \lim_{a \to +0} \left[ \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} \right]_{a}^{1}$

$= \left( \frac{1^2}{2} \log 1 - \frac{1^2}{4} \right) - \lim_{a \to +0} \left( \frac{a^2}{2} \log a - \frac{a^2}{4} \right)$

$= \left( 0 - \frac{1}{4} \right) - \lim_{a \to +0} \frac{a^2}{2} \log a + \lim_{a \to +0} \frac{a^2}{4}$

ここで、$\lim_{a \to +0} a^2 \log a = 0$ であるので、

$\int_{0}^{1} x \log x \, dx = -\frac{1}{4} - 0 + 0 = -\frac{1}{4}$

(ii) $\int_{0}^{5} \frac{1}{\sqrt{5-x}} \, dx$ の計算

$t = 5-x$ と置換すると、$dt = -dx$ であり、$x = 0$ のとき $t = 5$, $x = 5$ のとき $t = 0$ となります。

$\int_{0}^{5} \frac{1}{\sqrt{5-x}} \, dx = \int_{5}^{0} \frac{1}{\sqrt{t}} (-dt) = \int_{0}^{5} t^{-1/2} \, dt$

$= \left[ 2t^{1/2} \right]_{0}^{5} = 2\sqrt{5} - 2\sqrt{0} = 2\sqrt{5}$

(iii) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx$ の計算

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{\infty} x^{-3/2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} x^{-3/2} \, dx$

$= \lim_{b \to \infty} \left[ -2x^{-1/2} \right]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty} \left( -2b^{-1/2} - (-2 \cdot 1^{-1/2}) \right)$

$= \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{2}{\sqrt{b}} + 2 \right) = 0 + 2 = 2$

3. 最終的な答え

(i) $-\frac{1}{4}$

(ii) $2\sqrt{5}$

(iii) $2$