問題84では、与えられた曲線上の指定された$x$座標に対応する点における接線の方程式を求める。問題85では、同様に、与えられた曲線上の指定された$x$座標に対応する点における法線の方程式を求める。

1. 問題の内容

問題84では、与えられた曲線上の指定された$x$座標に対応する点における接線の方程式を求める。問題85では、同様に、与えられた曲線上の指定された$x$座標に対応する点における法線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

問題84(1): $y = -x^3 + 5x$、 $x = 1$

* まず、$x = 1$のときの$y$の値を求める。

$y = -(1)^3 + 5(1) = -1 + 5 = 4$

したがって、接点は$(1, 4)$である。

* 次に、$y$を$x$について微分し、$y'$を求める。

$y' = -3x^2 + 5$

* $x = 1$における$y'$の値を求める。これが接線の傾き$m$である。

$m = -3(1)^2 + 5 = -3 + 5 = 2$

* 接線の式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$で与えられる。ここで$(x_1, y_1) = (1, 4)$、$m = 2$である。

$y - 4 = 2(x - 1)$

$y = 2x - 2 + 4$

$y = 2x + 2$

問題84(2): $y = \frac{\sin x}{x}$、 $x = \pi$

* $x = \pi$のときの$y$の値を求める。

$y = \frac{\sin \pi}{\pi} = \frac{0}{\pi} = 0$

したがって、接点は$(\pi, 0)$である。

* $y$を$x$について微分し、$y'$を求める。商の微分法則を使用する。

$y' = \frac{x \cos x - \sin x}{x^2}$

* $x = \pi$における$y'$の値を求める。これが接線の傾き$m$である。

$m = \frac{\pi \cos \pi - \sin \pi}{\pi^2} = \frac{\pi(-1) - 0}{\pi^2} = -\frac{1}{\pi}$

* 接線の式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$で与えられる。ここで$(x_1, y_1) = (\pi, 0)$、$m = -\frac{1}{\pi}$である。

$y - 0 = -\frac{1}{\pi}(x - \pi)$

$y = -\frac{1}{\pi}x + 1$

問題85(1): $y = x^3 - 2x$、 $x = 2$

* $x = 2$のときの$y$の値を求める。

$y = (2)^3 - 2(2) = 8 - 4 = 4$

したがって、点は$(2, 4)$である。

* $y$を$x$について微分し、$y'$を求める。

$y' = 3x^2 - 2$

* $x = 2$における$y'$の値を求める。これが接線の傾き$m_t$である。

$m_t = 3(2)^2 - 2 = 3(4) - 2 = 12 - 2 = 10$

* 法線の傾き$m_n$は、接線の傾きの逆数の負符号である。

$m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{10}$

* 法線の式は、$y - y_1 = m_n(x - x_1)$で与えられる。ここで$(x_1, y_1) = (2, 4)$、$m_n = -\frac{1}{10}$である。

$y - 4 = -\frac{1}{10}(x - 2)$

$y = -\frac{1}{10}x + \frac{1}{5} + 4$

$y = -\frac{1}{10}x + \frac{21}{5}$

問題85(2): $y = x \log x$、 $x = e$

* $x = e$のときの$y$の値を求める。

$y = e \log e = e(1) = e$

したがって、点は$(e, e)$である。

* $y$を$x$について微分し、$y'$を求める。積の微分法則を使用する。

$y' = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

* $x = e$における$y'$の値を求める。これが接線の傾き$m_t$である。

$m_t = \log e + 1 = 1 + 1 = 2$

* 法線の傾き$m_n$は、接線の傾きの逆数の負符号である。

$m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}$

* 法線の式は、$y - y_1 = m_n(x - x_1)$で与えられる。ここで$(x_1, y_1) = (e, e)$、$m_n = -\frac{1}{2}$である。

$y - e = -\frac{1}{2}(x - e)$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}e + e$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}e$

3. 最終的な答え

問題84:

(1) $y = 2x + 2$

(2) $y = -\frac{1}{\pi}x + 1$

問題85:

(1) $y = -\frac{1}{10}x + \frac{21}{5}$

(2) $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}e$