$\int \frac{1}{4\cos^2 x + \sin^2 x} dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{4\cos^2 x + \sin^2 x} dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

与えられた積分を計算するために、まず分母を $\cos^2 x$ で割ります。

被積分関数の分子と分母を$\cos^2 x$で割ると、

$$\frac{1}{4\cos^2 x + \sin^2 x} = \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{4\cos^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} = \frac{\sec^2 x}{4 + \tan^2 x}$$

したがって、積分は

$$\int \frac{1}{4\cos^2 x + \sin^2 x} dx = \int \frac{\sec^2 x}{4 + \tan^2 x} dx$$

ここで、$u = \tan x$ とおくと、$du = \sec^2 x dx$ となります。したがって、積分は

$$\int \frac{\sec^2 x}{4 + \tan^2 x} dx = \int \frac{1}{4 + u^2} du = \int \frac{1}{2^2 + u^2} du$$

これは、$\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$ の形の積分であるため、

$$\int \frac{1}{2^2 + u^2} du = \frac{1}{2} \arctan \frac{u}{2} + C = \frac{1}{2} \arctan \frac{\tan x}{2} + C$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \arctan \frac{\tan x}{2} + C$